если они совпадают друг с другом при
наложении. В школе конгруэнтные фигуры
как бы не различают, и потому конгруэнтность
называют равенством. Конгруэнтные
фигуры имеют одинаковые размеры во всех
своих деталях. Подобие же, не требуя
одинаковости размеров, означает
одинаковость пропорций этих размеров;
поэтому подобие отражает более сущностное
сходство фигур, нежели конгруэнтность.
Геометрия в целом - более высокая ступень
абстракции, нежели физика, а физика -
чем материаловедение. Возьмём, к примеру,
шарик подшипника, биллиардный шар,
крокетный шар и мяч. Физика не вникает
в такие детали, как материал, из которого
они сделаны, а интересуется лишь такими
свойствами, как объём, вес, электропроводность
и т. п. Для математики - все они шары,
различающиеся только размерами. Если
шары имеют разные размеры, то они
различаются для
метрической геометрии,
но все они одинаковы для
геометрии
подобия . С точки зрения геометрии
подобия одинаковы и все шары, и все кубы,
а вот шар и куб - не одинаковы.
А теперь
посмотрим на тор. Тор - эта та геометрическая
фигура, форму которой имеют баранка и
спасательный круг. Энциклопедия
определяет тор как фигуру, полученную
вращением круга вокруг оси, расположенной
вне этого круга. Призываем благосклонного
читателя осознать, что шар и куб “более
одинаковы” между собой, чем каждый из
них с тором. Наполнить это интуитивное
осознание точным смыслом позволяет
следующий мысленный эксперимент.
Представим себе шар сделанным из
материала столь податливого, что его
можно изгибать, растягивать, сжимать
и, вообще, деформировать как угодно, -
нельзя только ни разрывать, ни склеивать.
Очевидно, что шар тогда можно превратить
в куб, но вот в тор превратить невозможно.
Толковый словарь Ушакова определяет
крендель как выпечку (буквально: как
сдобную витую булку) в форме буквы В.
При всём уважении к этому замечательному
словарю, слова “в форме цифры 8 ”
кажутся мне более точными; впрочем, с
той точки зрения, которая выражена в
понятии гомеоморфии, и выпечка в форме
цифры 8 , и выпечка в форме буквы В,
и выпечка в форме фиты имеют одну и ту
же форму. Даже если предположить, что
хлебопёки сумели получить тесто,
обладающее вышеуказанными свойствами
податливости, колобок невозможно - без
разрывов и склеиваний! - превратить ни
в баранку, ни в крендель, как и последние
две выпечки друг в друга. А вот превратить
шарообразный колобок в куб или в пирамиду
- можно. Любезный читатель несомненно
сумеет найти и такую возможную форму
выпечки, в которую нельзя превратить
ни колобок, ни крендель, ни баранку.