Здесь
существенна заключённая в скобки
оговорка: “…в том виде, в каком мы
понимаем пространство…” Имеется в
виду стандартное, школьное понимание
пространства. Математики, однако,
обнаружили теоретическую возможность
такой формы трёхмерного пространства,
что поменять местами правую и левую
части тела можно и без выхода за пределы
этого пространства. При стандартном
школьном понимании формы окружающего
нас трёхмерного пространства действительно
никаким перемещением в этом пространстве
невозможно превратить кисть правой
руки в кисть левой руки. Но это невозможно
именно при стандартном школьном
понимании. Существуют, однако, и иные
формы пространства, допускающие такое
перемещение. Попытаемся разъяснить,
как такое может быть.
Как
справедливо замечает Уэллс, вырезанный
из бумаги силуэт правой ладони невозможно
превратить в силуэт левой ладони,
ограничиваясь перемещением по плоской
поверхности стола; чтобы это сделать,
надо поднять силуэт над столом, то есть
выйти в третье измерение, перевернуть
и снова положить на стол. Существует,
однако, такая поверхность, перемещением
по которой правое превращается в левое.
Два немецких математика, Иоганн Бенедикт
Листинг и Август Фердинанд Мёбиус,
независимо друг от друга открыли её в
1858 году. По имени одного из них поверхность
получила название лист Мёбиуса .
Изображение
листа Мёбиуса можно встретить на обложках
математических изданий и значках
математических сообществ (в частности
- на значке мехмата Московского
университета). Рекомендуем любезному
читателю самому изготовить эту знаменитую
поверхность. Сделать это просто. Если
взять бумажную ленту и склеить её торцы,
то полученная поверхность будет боковой
поверхностью цилиндра. Если же перед
склеиванием ленту крутануть на 180
градусов, как раз и получится лист
Мёбиуса. Во избежание недоразумений
повторим сказанное на языке математики.
Надо взять прямоугольник ABCD, у которого
сторона AB параллельна стороне CD, а
сторона AD параллельна стороне BC, и
склеить друг с другом стороны AD и BC
(“торцы”). Склейку можно производить
различными способами. Если сделать это
без перекрутки, точка A склеится с точкой
B, а D - с C, и получится боковая поверхность
цилиндра. Если же A склеить с C, а D с B,
получим лист Мёбиуса. Случается, что,
подпоясавшись и застегнув ремень, вы
обнаруживаете, что ремень перекрутился;
такой перекрученный и застёгнутый
ремень может служить примером листа
Мёбиуса3.
Лист
Мёбиуса обладает рядом замечательных
свойств. Так, он имеет всего лишь одну
сторону. Чтобы убедиться в этом, проделаем
такой мысленный эксперимент. Представим
себе сделанный из прочного материала
и расположенный в невесомости лист
Мёбиуса, поставим на него человека и
попросим этого человека прогуляться.
Можно выбрать такой маршрут, что в
какой-то момент прогулки человек окажется
в положении антипода по отношению к
тому положению, какое он имел в исходный
момент. Ясно, что ни для боковой поверхности
цилиндра, ни для плоскости, ни для сферы
такая прогулка невозможна. Лист бумаги
можно закрасить с одной стороны в чёрный
цвет, оставив другую его сторону
незакрашенной. Точно так же и поверхность
цилиндра, и сферу можно выкрасить с
одной стороны, оставив другую незакрашенной.
Поступить так с листом Мёбиуса не
удастся. И плоскость, и поверхность
цилиндра, и сфера суть поверхности