Есть идея! (Гарднер) - страница 51

В этой главе мы рассмотрим несколько задач о числах, допускающих неожиданно простые решения, додуматься до которых не так-то просто. При выборе задач мы отдавали предпочтение таким, которые при всей элементарности служили бы ступенькой, позволяющей читателю подняться на более высокую ступень арифметики, получившей название теории чисел. Например, рассказ-задача «Разбитые грампластинки» вводит в круг простейших идей диофантова анализа — решения уравнений в целых числах. Другая задача «Один лишний» познакомит вас с важным понятием наименьшего общего кратного и интересным фокусом, основанным на замечательной «китайской теореме об остатках».

Дихотомия (последовательное разбиение множества на 2 части), играющая важную роль в вычислительной технике и теории автоматической сортировки данных, лежит в основе задачи об угадывании номера телефона Элен и позволяет читателю войти в круг вопросов, связанных с двоичной системой счисления. Принцип «птичка в клетке», известный также под названием принципа Дирихле, позволяет доказывать многие важные факты из теории чисел. Мы используем его для доказательства двух забавных утверждений: о бумажных долларах и о числе волос на голове человека. Свойство двух целых чисел быть взаимно простыми (не иметь общих делителей, кроме единицы) позволяет доказать, что, за исключением 12 часов, часовая, минутная и секундная стрелки часов никогда не совпадают (обычно это вычисление доказывают, проделывая довольно громоздкие выкладки).

Задача о счете по бутылкам легко решается, если воспользоваться понятием сравнения по модулю, и заставляет вспомнить о знаменитой задаче Иосифа Флавия, которую можно удивительно наглядно продемонстрировать при помощи колоды игральных карт.

Хотя задачи, собранные в этой главе, математики сочли бы тривиальными, открываемые ими направления для исследований в теории чисел далеко не тривиальны и не могут не поражать изяществом и идейным богатством древнейшей из всех дедуктивных систем — системы, оперирующей с символами, обозначающими знакомые всем числа.

Больше всего на свете Боб и Элен любили всякого рода головоломки. Особенно им нравилось ставить в тупик друг друга и своих друзей каверзными вопросами.

Однажды, когда Боб и Элен проезжали мимо магазина грампластинок, Боб задал Элен вопрос.

Боб. Ты все еще собираешь пластинки с джазовой музыкой?

Элен. Нет, половину всех пластинок и еще полпластинки я подарила Сьюзен.

Элен. Половину оставшихся пластинок и еще полпластинки я подарила Джо.

Элен. После этого у меня осталась одна пластинка. Я подарю ее тебе, если ты скажешь, сколько пластинок было у меня в коллекции до того, как я начала ее раздавать.