Есть идея! (Гарднер) - страница 50

Разрезание квадрата на 4 конгруэнтные части другой формы долгое время было одной из излюбленных задач на разрезание. Если, разрезав картонный квадрат на 4 части так, как показано на рис. 21, вы предложите кому-нибудь из своих знакомых составить квадрат из четвертушек, то, как правило, ваш приятель сочтет задачу трудной. После того как он успешно справится с ней, попросите его составить из тех же четвертушек два квадрата.

Последняя задача в отличие от предыдущих носит несколько жульнический характер: решить ее ваш приятель сможет лишь в том случае, если догадается, что одним из двух квадратов служит отверстие в середине другого квадрата (рис. 22). Размеры отверстия зависят от угла, который линия разреза составляет со стороной исходного квадрата. Если этот угол равен 90°, то отверстие исчезает. Если угол равен 45°, то отверстие достигает наибольших размеров.

Говоря об арифметике, разные люди вкладывают в это понятие различное содержание. Мы будем понимать под арифметикой все, что так или иначе связано с изучением свойств целых чисел и операций сложения, вычитания, умножения и деления, производимых над числами.

Когда-то, на заре человечества (точную дату не может назвать ни один антрополог), первобытные люди открыли, что предметы можно считать и результат счета не зависит от того, в каком порядке сосчитаны предметы. Например, если вы приметесь считать двух овец по пальцам, то результат будет одним и тем же независимо от того, с какой овцы вы начнете считать и будете ли вы загибать пальцы с мизинца или с большого пальца. У вас всегда получится 2, а если вы сосчитаете две овцы, а потом еще одну, то у вас всегда получится 3.

Такие арифметические теоремы, как «2 + 1 = 3», созревали и становились достоянием умов на протяжении нескольких столетий. Если бы мы могли прокрутить назад пленку, на которой была бы запечатлена история человечества, то вряд ли нам удалось найти какой-то век, о котором можно было бы с уверенностью сказать: «Именно тогда человечество открыло арифметику». Маленькие дети овладевают понятием числа так же постепенно и незаметно. В один прекрасный день ребенок может впервые заявить изумленным родителям: «Один плюс один — два», но смысл этого утверждения ясен малышу задолго до того, как он выскажет свою первую арифметическую теорему.

Все истинные теоремы арифметики следуют непосредственно из аксиом и определений числовой системы, но это отнюдь не означает, будто истинность или ложность любого арифметического утверждения легко распознается на слух. Если кто-нибудь скажет, что при умножении 12345679 на 9 получается 111111111, вы можете не верить ему до тех пор, пока сами не умножите одно число на другое. Существуют арифметические теоремы, которые просто сформулировать, но так трудно доказать, что никто пока не знает, верны ли они. Примерам таких утверждений может служить знаменитая гипотеза Гольбаха: всякое четное число больше 2 представимо в виде суммы двух простых чисел. Никому до сих пор не удалось ни доказать ее, ни построить контрпример.