Если v есть скорость атома, a v>x— составляющая скорости вдоль оси х, то импульс «к поршню» равен mv>x, но раз частица «отражается», то импульс «от поршня» равен той же величине; значит, за одно соударение поршню сообщается импульс 2mv>x.
Нужно теперь подсчитать число соударений атома за 1 сек; для этого можно взять любой промежуток времени dt, а потом разделить число соударений на dt. Много ли атомов попадает за это время в цель? Предположим, что в объеме Vзаключено N атомов, т. е. в каждом единичном объеме имеется n= N/Vатомов. Теперь заметим, что за время tдостигнут поршня не все частицы, движущиеся к поршню с заданной скоростью, а только те, которые оказались достаточно близко от него. Если частицы были очень далеко, то, хотя они и стремятся к поршню, к сроку они не успеют. Таким образом, за время tо поршень ударятся лишь те частицы, которые в начальный момент были не дальше чем на расстоянии v>xtот него. Следовательно, число соударений за время tравно числу атомов, находящихся на расстоянии, не превышающем v>xt, а поскольку площадь поршня равна А, то атомы, которые со временем попадут в цель, занимают объем Av>xt. Ачисло атомов, попавших в цель, равно произведению объема на число атомов в единичном объеме nv>xAt. Но нас, конечно, интересует не число соударений за время t, а мы хотим знать число соударений за 1 сек, поэтому мы делим на tи получаем nv>xA. (Время tможет быть взято очень малым, для красоты можно писать dtи затем дифференцировать, но это все одно и то же.)
Итак, мы нашли, что сила равна
F=nv>xA·2mv>x. (39.3)
Обратите внимание, что если фиксировать плотность частиц, то сила оказывается пропорциональной площади! После этого давление найти очень просто:
P=-2nmv>2>x. (39.4)
Теперь надо исправить кое-какие неточности: прежде всего не все молекулы имеют одну и ту же скорость и не все они движутся в одном направлении, так что нам приходится иметь дело с разными v>2>x! Каждая молекула, ударяясь о поршень, вносит свой вклад, поэтому надо взять среднее по всем молекулам. Сделав это, мы получим
P=nm<v>2>x>. (39.5)
А не забыли ли мы множитель 2? Нет, потому что лишь половина атомов движется к поршню. Другие летят в противоположную сторону, а усредняя по v>2>x, мы усредняем как по положительным, так и по отрицательным составляющим v>x.
Если просто усреднить по v>2>x, получится вдвое больший результат. Среднее v>2>x для положительных v>xравно половине среднего v>2>x для всех v>x.
Но атомы прыгают в ящике как хотят, и поэтому ясно, что x-направление» для них ничем не отличается от любого другого; они движутся куда угодно: вправо — влево, вверх — вниз, взад — вперед. Поэтому