Борис Алексеевич Костров родился в 1912 году в Петербурге, в семье конторского служащего Путиловского завода. Учился в трудовой школе. Работал на фабрике имени Володарского, затем в числе других комсомольцев был направлен на работу в один из совхозов Ленинградской области.
Первое стихотворение Кострова «Трактористы» было опубликовано в 1932 году в журнале «Резец». В 1934 году поэт поступил учиться в Рабочий литературный университет имени А. М. Горького, по окончании его работал в редакции районной газеты «За колхоз» (г. Остров Псковской области). Вернувшись в 1937 году в Ленинград Костров печатался в журналах «Резец», «Звезда», «Ленинград». В 1941 году вышел первый сборник стихов поэта «Заказник».
24 июня 1941 года Костров добровольцем ушел на фронт, участвовал в боях на Волховском, Калининском фронтах, в Карелии. Был трижды ранен. В 1943 году был направлен в танковое училище, окончив его через год вновь участвовал в боях в составе войск Прибалтийского фронта.
11 марта 1945 года при штурме г. Крейцбурга (Восточная Пруссия) командир самоходки Б. Костров получил тяжелое ранение. Умер 14 марта 1945 года. Похоронен в братской могиле на центральной площади г. Крейцбурга (ныне поселок Енино Багратионовского района Калининградской области).