Головоломки. Выпуск 2 (Перельман) - страница 6

На первую страницу
/>12 круга больше. Но чтобы догнать часовую стрелку, минутной нужно пройти больше, чем часовой, только на ту >1/>12 долю круга, которая их отделяет. Для этого потребуется времени не целый час, а меньше во столько раз, во сколько >1/>12 меньше >1/>11 т. е. в 11 раз. Значит, стрелки встретятся через >1/>11 ч, т. е. через 60/11 = >5/>11 мин.

Итак, встреча стрелок случится спустя 5>1/>11 мин после часа дня, т. е. в 5>1/>11 мин второго.

Когда же произойдет следующая встреча?

Нетрудно сообразить, что это случится через 1 час 5>1/>11 мин, т. е. в 2 ч 10>1/>2 мин. Следующая – спустя еще 1 час 5>5/>11 мин, т. е. в 3 ч 16>4/>11 мин, и т. д. Всех встреч, как легко видеть, будет 11; последняя наступит через 1>1/>11 × 11 = 12 ч после первой, т. е. в 12 ч; другими словами, очередная встреча стрелок совпадает с самой первой и дальнейшие встречи повторятся снова в известные моменты.

Вот полный перечень встреч:



2. Эта задача решается весьма сходно с предыдущей. Начнем опять с 12 ч, когда положение стрелок одинаково. Нужно вычислить, сколько времени потребуется для того, чтобы минутная стрелка обогнала часовую ровно на полкруга – тогда стрелки и будут направлены как раз в противоположные стороны. Мы уже знаем (см. предыдущую задачу), что в течение целого часа минутная стрелка обгоняет часовую на >1/>11 полного круга; чтобы обогнать ее всего на >1/>2 круга, понадобится меньше времени, чем целый час. Причем, во столько раз, во сколько >1/>2 меньше >1/>12, т. е. потребуется всего >6/>11 ч. Значит, после 12 часов стрелки в первый раз располагаются одна против другой спустя >6/>11 ч, или 32>8/>11 мин. Взгляните на часы, когда стрелки направлены в противоположные стороны.

Единственный ли это момент, когда стрелки так расположены? Конечно, нет. Такое положение стрелки занимают спустя 32>8/>11 минуты после каждой встречи. А мы уже знаем, что встреч бывает 11 в течение двенадцати часов; значит, и располагаются стрелки врозь тоже 11 раз в течение 12 часов. Найти эти моменты нетрудно:

12 ч + 32>8/>11 мин = 12 ч 32>8/>11 мин,

1 ч 5>5/>11 мин + 32>8/>11 мин = 1 ч 38>7/>11 мин,

2 ч 10>10/>11 мин + 32>8/>11 мин = 2 ч 43>7/>11 мин,

3 ч 16>1/>11 мин + 32>8/>11 мин = 3 ч 49>1/>11 мин и т. д.

Вычислить остальные моменты предоставляю вам самим.


3. Если начать наблюдение за стрелками ровно в 12 часов, то в течение первого часа мы искомого расположения не заметим. Почему? Потому что часовая стрелка проходит >1/>12 того, что проходит минутная, и, следовательно, отстает от нее гораздо больше, чем требуется. На какой бы угол ни отошла от 12 минутная стрелка, часовая повернется на

Следующая страница