Другая особенность числа 365, уже не связанная с календарем, тоже весьма любопытна:
365= 10 × 10+ 11 × 11 + 12 × 12.
То есть, оно равно сумме квадратов трех последовательных чисел, начиная с десяти:
102 + 112 + 122 = 100 + 121 + 144 = 365.
Но и это еще не все: оно же равно сумме квадратов двух следующих чисел – 13 и 14:
132 + 142= 169 + 196 = 365.
Таких чисел не много наберется в нашей арифметической кунсткамере.
В следующей витрине выставлено наибольшее из всех трехзначных чисел: 999
. Оно гораздо удивительнее, чем его перевернутое изображение – 666 – знаменитое «звериное число» Апокалипсиса, вселяющее такой страх в суеверных людей, но по арифметическим свойствам ничем не выделяющееся среди остальных чисел.
Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трехзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение, первые три цифры которого есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а последние три цифры – дополнения первых до 9. Например:
Стоит лишь взглянуть на следующую строку, чтобы понять происхождение этой особенности:
Отсюда вытекает весьма простой прием «мгновенного» умножения любого трехзначного числа на 999:
847 × 999 = 846153; 509 × 999 = 508491; 981 × 999 = 980019 и т. п.
А так как 999 = 9 × 111 = 3 × 3 × 3 × 37, то вы можете, опять-таки с молниеносной быстротой, писать целые колонны шестизначных чисел, кратных 37, – чего не знакомый со свойствами числа 999, конечно, не в состоянии сделать. Короче говоря, вы можете устраивать перед непосвященными маленькие сеансы «мгновенного умножения и деления» не хуже иного фокусника.
Следующим на очереди у нас 1001
, прославленное число Шехеразады. Вы, вероятно, и не подозревали, что в самом названии сборника волшебных арабских сказок заключается также своего рода чудо, которое могло бы поразить воображение сказочного султана не менее многих других чудес Востока, если бы он способен был интересоваться арифметическими диковинками. Чем же так замечательно число 1001? С виду оно кажется весьма обыкновенным. Оно даже не принадлежит к избранному разряду так называемых простых чисел: через ячейки Эратосфенова решета оно свободно проскользнуло бы, так как делится без остатка на 7, на 11 и на 13 – на три последовательных простых числа, произведением которых оно и является. Но в том, что число 1001 = 7 × 11 × 13, нет еще ничего волшебного. Гораздо замечательнее то, что при умножении на него трехзначного числа получается результат, состоящий из умноженного числа только написанного дважды: например, 873 × 1001 = 873873; 207 × 1001 = 207207 и т. д. И хотя этого и следовало ожидать, так как 873 × 1001 = 873 × 1000 + 873 = 878000 + 873, – все же, пользуясь указанным свойством числа Шехеразады, можно достичь результатов, совсем неожиданных, – по крайней мере, для человека неподготовленного.