Вейерштрасс своей критикой, которую он проводил с мастерской остротой, положил твёрдые основания математического анализа. Выяснив, среди остальных понятий, понятия минимума, функции, производной, он тем самым устранил недочёты, имевшие место в исчислении бесконечно малых, очистил его от всех расплывчатых представлений о бесконечно малом и окончательно преодолел при этом трудности, вытекающие из понятия «бесконечно малое». Если теперь в последовательности умозаключений, которые основаны на понятии иррационального числа и вообще предела, царит в анализе полное единодушие и уверенность — даже в самых запутанных вопросах, касающихся теории дифференциальных и интегральных уравнений, — если, несмотря на самые смелые и многообразные результаты, несмотря на нагромождение и перекрещивание пределов, всё же имеется совпадение всех результатов, то это — существенная заслуга научной деятельности Вейерштрасса.
Однако обоснованием, данным анализу бесконечно малых Вейерштрассом, дискуссия об основах анализа не закончилась.
Причина этого лежит в том, что значение бесконечного для математики ещё не выяснено до конца. Правда, бесконечно малое и бесконечно большое были из анализа Вейерштрасса исключены тем, что высказывания, относящиеся к этим понятиям, были сведены к соотношениям между конечными величинами. Но бесконечное всё же выступает снова в бесконечных числовых последовательностях, определяющих действительное число, и затем в понятии системы действительных чисел, которая воспринимается точно так, как предстоящая перед нами готовая и законченная совокупность.
Формы логических умозаключений, в которых выражается эта трактовка, — когда, например, идёт речь о всех действительных числах, обладающих известным свойством, или о том, что существуют действительные числа, обладающие известным свойством, — суть как раз те формы, к которым неограниченно обращаются в вейерштрассовском обосновании анализа и которые применяют, постоянно повторяя.
Благодаря этому бесконечное сумело снова в прикрытом виде пробраться в теорию Вейерштрасса, не будучи задето остротой его критики; отсюда следует, что проблема бесконечного и есть как раз то, что нам в указанном смысле необходимо ещё выяснить до конца. Мы должны бесконечное, в смысле бесконечной совокупности, в тех случаях, где оно встречается в выводах ещё и теперь, понимать как нечто кажущееся, подобно тому, как в предельных процессах исчисления бесконечно малых оказалось возможным показать, что бесконечное, в смысле бесконечно малого и бесконечно большого, есть просто оборот речи. И подобно тому как действия с бесконечно малыми были заменены процессами в конечном, которые дают те же результаты и приводят к тем же изящным формальным соотношениям, выводы, содержащие бесконечное, должны быть вообще заменены конечными процессами, дающими в точности те же результаты, т.е. позволяющими проводить тот же ход доказательства и применять те же методы для получения формул и теорем.
