В этом и заключается замысел моей теории. Эта теория ставит своей целью установить определённую надёжность математического метода, которой критический период исчисления бесконечно малых ещё не достиг; она должна, таким образом, завершить то, к чему стремился Вейерштрасс в своём обосновании анализа и к достижению чего им был сделан необходимый и существенный шаг.
Однако, затрагивая вопрос о выяснении понятия бесконечности, приходится принимать во внимание ещё более общую точку зрения. Если обратить на это внимание, то оказывается, что математическая литература наводнена нелепостями и бессмыслицами, в которых большей частью повинна бесконечность. Так например, иногда в качестве ограничительного требования подчёркивают, что в строгой математике в доказательстве допускается только конечное число умозаключений — как будто кому-либо удалось уже когда-либо сделать бесконечное число умозаключений.
Также и старые возражения, которые долгое время считались похороненными, выступают опять в новом одеянии. Недавно, например, было высказано следующее: если даже введение какого-либо понятия может быть произведено без опасений, т.е. без получения противоречий, и это может быть доказано, то всё же это понятие не является в достаточной мере оправданным. Не является ли это в точности тем возражением, которое в своё время выдвигали против комплексных (мнимых) чисел, говоря: правда, из-за них не получается никаких противоречий, но их введение всё же незаконно, так как мнимые величины всё-таки не существуют. Нет, если помимо доказательства непротиворечивости может иметь смысл ещё вопрос о законности некоторого мероприятия, то таким вопросом может быть только вопрос о том, сопровождается ли это мероприятие соответствующим успехом или нет. Действительно, успех здесь необходим; он является высшей инстанцией, перед которой преклоняется каждый.
Другой автор, по-видимому, усматривает противоречия, подобно привидениям, даже и там, где никто вообще никаких утверждений не делал, именно в самом конкретном, чувственном мире, «непротиворечивое функционирование» которого усматривается как особая гипотеза. Я, по крайней мере, думал, что противоречить друг другу могут только высказывания и предположения, поскольку они через умозаключения ведут к новым высказываниям, и мне кажется, что мнение, будто сами факты и события могут оказаться в противоречии друг с другом, является классическим примером бессмыслицы.
Этими замечаниями я хочу только показать, что окончательное выяснение сущности бесконечного