Теория струн и скрытые измерения Вселенной (Яу, Надис) - страница 30

. Что произойдет со значением функции y, если немного сместиться из этой точки, например, в точку x = 2,001? В этом случае значение y станет равным 4,004 (с точностью до трех знаков после запятой). Производная в этой точке будет равна отношению приращения значения функции (0,004) к приращению значения аргумента (0,001), то есть 4. Именно это число и будет производной функции при x = 2 или, другими словами, наклоном кривой (параболы) в этой точке.

Расчеты, конечно, могут оказаться гораздо более трудоемкими при переходе к более сложным функциям и более высоким размерностям. Но вернемся на время к нашему примеру. Мы получили производную функции y = x^>2 из отношения приращения y к приращению x, поскольку производная функции говорит нам о наклоне (или крутизне) в данной точке — тогда как наклон служит непосредственной мерой приращения y по отношению к приращению x.

Проиллюстрируем это другим способом: рассмотрим мяч, лежащий на некоей поверхности. Если мы слегка толкнем мяч в какую-либо сторону, как это отразится на его вертикальной координате? Если поверхность более или менее плоская, то высота, на которой находится мяч, практически не изменится. Но если мяч находился на крутом склоне, изменение высоты будет более существенным. Таким образом, производные характеризуют наклон поверхности в непосредственной близости от мяча.

Рис. 2.2. Площадь фигуры, ограниченной кривой, можно вычислить при помощи интегрального исчисления, разделив область под кривой на бесконечно узкие прямоугольники и затем сложив их площади. По мере того как прямоугольники становятся все уже и уже, это приближение становится все точнее и точнее. Если перейти к пределу, при котором ширина прямоугольников стремится к нулю, результат станет точным

Конечно, нет причин ограничиваться только одной точкой на поверхности. Путем вычисления производных, показывающих изменение геометрии (или формы) для различных точек поверхности, можно точно рассчитать кривизну объекта в целом. Хотя наклон в каждой данной точке дает только локальную информацию, относящуюся к «окрестностям» указанной точки, значения, полученные для различных точек, можно объединить и вывести функцию, описывающую наклон объекта в любой точке. Затем при помощи интегрирования — грубо говоря, путем сложения и усреднения — можно получить функцию, описывающую объект как единое целое. Таким образом, мы получим представление о структуре всего объекта, что и является центральной идеей всей дифференциальной геометрии — возможность создать общую картину для всей поверхности или многообразия на основе локальной информации, полученной из производных, отражающих геометрию (или метрику) в каждой точке.