Теория струн и скрытые измерения Вселенной (Яу, Надис) - страница 31
Помимо достижений в области дифференциальной геометрии, Гаусс внес существенный вклад и в другие области математики и физики. Пожалуй, наибольшее значение для нас имеет его поразительное предположение, что не только объекты, находящиеся в пространстве, но и пространство само по себе также может быть искривлено. Открытие Гаусса бросило вызов евклидовой концепции плоского пространства — представлению, относившемуся не только к интуитивно понятной двухмерной плоскости, но и к трехмерному пространству, называя которое плоским подразумевают, что параллельные линии в таком пространстве не пересекаются, а сумма углов треугольника всегда составляет ровно 180°.
θ>1 + θ>2 + θ>3> 180° Положительная кривизна
θ>1 + θ>2 + θ>3= 180° Нулевая кривизна
θ>1 + θ>2 + θ>3< 180° Отрицательная кривизна
Рис. 2.3. На поверхности с положительной кривизной (такой, как сфера) сумма углов треугольника больше 180°, и линии, кажущиеся параллельными (такие, как меридианы) могут пересечься, например, на Северном и Южном полюсах. На плоской поверхности (поверхности с нулевой кривизной), которая является основой евклидовой геометрии, сумма углов треугольника равна 180°, и параллельные линии не пересекаются. На поверхности с отрицательной кривизной, например имеющей форму седла, сумма углов треугольника меньше 180°, а линии, кажущиеся параллельными, на самом деле расходятся
Эти принципы, являющиеся ключевыми для евклидовой геометрии, не выполняются в искривленных пространствах. Рассмотрим сферическое пространство, подобное поверхности глобуса. Если смотреть на глобус со стороны экватора, линии меридианов кажутся параллельными, поскольку все они перпендикулярны экватору. Но если вы проследуете по ним в одном из двух направлений, то увидите, что они в конце концов сходятся на Северном и Южном полюсах. Этого не произойдет в плоском евклидовом пространстве, таком как карта в проекции Меркатора, на которой две линии, перпендикулярные третьей, являются действительно параллельными и никогда не пересекаются.
В неевклидовом пространстве сумма углов треугольника может быть или больше, или меньше, чем 180°, в зависимости от того, как искривлено пространство. Если пространство, подобно сфере, имеет положительную кривизну, сумма углов треугольника всегда будет больше 180°. И напротив, если пространство имеет отрицательную кривизну, как внутренняя часть седла, сумма углов треугольника всегда будет меньше 180°. Узнать кривизну пространства можно, определив величину, на которую сумма углов треугольника больше или меньше 180°.