«Энциклопедия» позволяет Слоуну быть в курсе множества новых математических идей, а кроме того, он проводит часть времени, рождая свои собственные. В 1973 году он предложил концепцию «продолжительности жизни» числа. Она измеряется числом шагов, которое требуется сделать, чтобы получить однозначное число, перемножая все цифры предыдущего числа, затем перемножая все цифры полученного числа, что даст третье число, и т. д., пока не получится однозначное число. Например, 88 → 8 × 8 = 64 → 6 × 4 = 24 → 2 × 4 = 8. Таким образом, говорит Слоун, число 88 имеет продолжительность жизни, равную 3, поскольку требуются три шага, чтобы добраться до одной цифры. Кажется, что чем больше число, тем выше его продолжительность жизни. Например, 679 имеет продолжительность жизни, равную 5: 679 → 378 → 168 → 48 → 32 → 6. Подобным же образом, слегка потрудившись, можно узнать, что число 277 777 788 888 899 имеет продолжительность жизни, равную 11. Однако Слоуну не удалось найти числа, продолжительность жизни которого была бы больше 11, даже после того, как он перебрал все числа до 10>233, что есть единица с 233 нулями. Другими словами, какое бы 233-значное число вы ни выбрали, применив к нему правила перемножения цифр для определения продолжительности жизни, вы непременно доберетесь до одной-единственной цифры за 11 шагов или ранее.
Этот результат восхитительным образом противоречит нашей интуиции. Казалось бы, если взять число, состоящее из 200 или около того цифр, причем по большей части из больших цифр, скажем восьмерок и девяток, то произведение всех этих цифр окажется достаточно большим, и для того, чтобы в конце концов добраться до однозначного числа, потребуется существенно больше и шагов. Однако, как оказалось, большие числа схлопываются под собственным весом. Дело в том, что если в числе хоть раз появится нуль, то произведение всех его цифр окажется равным нулю. Если в числе, с которого вы начали, нет нулей, то нуль непременно появится на 11-м шаге, если только число уже не свелось к этому моменту к единственной цифре. Слоун считает свой алгоритм необычайно эффективным убийцей чисел-гигантов.
Не останавливаясь на достигнутом, Слоун составил последовательность, в которой n-й член есть наименьшее число с продолжительностью жизни, равной n. (Мы рассматриваем только числа, имеющие по крайней мере две цифры.) Первый такой член равен 10, потому что 10 → 0, так что 10 — это наименьшее двузначное число, которое претерпевает редукцию за один шаг.
Второй член равен 25, потому что 25 → 10 → 0 и 25 есть наименьшее число, которое редуцируется за два шага.