), и характер степеней
х (2 и 3). Применив это более изящное написание, Декарт смог складывать и вычитать уравнения и производить с ними другие арифметические операции. Он смог классифицировать алгебраические выражения согласно типу кривой, которую они представляли. Например, он опознал уравнения 3
х + 6
y – 4 = 0 и 4
х + 7
у + 1 = 0 как представляющие прямые, которые он изучил в общем случае
ax +
by +
c = 0. Таким образом, он преобразовал алгебру из науки, изучающей мешанину отдельных уравнений, в дисциплину оформленных классов уравнений, см.: Vrooman, стр. 117–118. Более общую историю алгебраических символов см.: Kline,
Mathematical Thought , стр. 259–263, и Resnikoff and Wells, стр. 203–206.
121
По таблице, приведенной в «Нью-Йорк Таймс» 11 января 1981 г. и процитированной у Тафта.
122
Теперь нам становится понятнее декартово определение окружности. Если окружность имеет центр в точке начала координат, и координаты точки на окружности – х и у , тогда требование, чтобы х и у отвечали уравнению х 2 + у 2 = r 2, попросту означает, что все точки на окружности должны находиться на расстоянии r от центра; это простое интуитивное определение, знакомое нам со школы.
123
Хоть мы и объяснили это для плоскости, двухмерного пространства, декартовы координаты просто будет распространить на три и более измерения. К примеру, уравнение сферы х 2 + у 2 + z 2 = r 2, изменение состоит лишь в дополнительной координате z. Таким образом, физические теории могут быть описаны с помощью произвольного числа пространственных измерений. Выясняется, что обычная квантовая механика принимает чрезвычайно простой вид при бесконечном числе пространственных измерений, и это свойство применяется для нахождения приблизительных ответов для уравнений, решение которых иначе затруднительно. Интересующимся математикой рекомендуем: L. D. Mlodinow and N. Papanicolaou, «SO(2,1) Algebra and Large N Expansions in Quantum Mechanics», Annals of Physics, том 28, № 2 (сентябрь, 1980), стр. 314–334.
124
Vrooman, стр. 120.
125
На рус. яз.: М., СПб: ОГИЗ Москва – Ленинград, 1948, пер. А. И. Долгова. – Прим. пер.
126
Vrooman, стр. 115.
127
Vrooman, стр. 84–85.
128
Vrooman, стр. 89.
129
Vrooman, стр.152–155, 157–162.
130
Vrooman, стр. 136–149.
131
Об отношениях Декарта и Кристины см.: Vrooman, стр. 212–255.
132
О странствиях разных частей тела Декарта после смерти см. там же, стр. 252–254.
133
Heath, стр. 364–365.
134
О споре Прокла с Птолемеем см.: Kline, Mathematical Thought , стр. 863–865.
135
Джон Плейфэр (1748–1819) – шотландский математик и географ, профессор математики в Эдинбургском университете. –