Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства (Млодинов) - страница 79

Риман представил свою лекцию в контексте дифференциальной геометрии, сосредоточившись на свойствах бесконечно малых областей поверхности, нежели на ее общих геометрических свойствах. По сути, Риман неевклидову геометрию как таковую ни разу и не помянул. Но последствия его работы были очевидны: Риман объяснил, каким образом сферу можно интерпретировать как двухмерное эллиптическое пространство.

Подобно Пуанкаре, Риман дал свою интерпретацию понятий «точка», «прямая» и «плоскость». В качестве плоскости он выбрал поверхность сферы. Его точки, как и у Пуанкаре, были местоположениями – в том же смысле, в каком Декарт имел в виду пары чисел, они же координаты (по сути – широта и долгота той или иной точки). Линиями Римана оказались большие круги – геодезические линии сферы.

Как и для модели Пуанкаре, необходимо было подтвердить, что модель Римана допускает непротиворечивые интерпретации постулатов. Сейчас самое время вспомнить, что уже доказана невозможность существования эллиптического пространства. Разумеется, обнаружилось, что в модели Римана имеются кое-какие нестыковки. Мало создать пространство на основе новой версии постулата параллельности – риманово пространство противоречило существующим версиям и других постулатов. Например, возьмем второй. Евклид писал:

...

2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

Применим ли этот постулат к отрезкам больших кругов сферы? До Римана второй постулат интерпретировали в том значении, что должен существовать отрезок сколь угодно большой длины. Но у большого круга есть предел – длина окружности, в 2π раз больше радиуса этой самой сферы.

Даже в математике иногда полезно нарушать законы. Риман стал Розой Паркс, отказавшейся пересесть в хвост автобуса [174] : он поставил под вопрос не неправедное, но неоправданное. Он постановил, что второй постулат описывает не существование сколь угодно длинных отрезков, а лишь гарантирует, что у прямых нет конца, а это верно для больших кругов. Математический Верховный суд – сообщество математиков, – услышав это, почесал в затылках. Каковы последствия новой интерпретации закона юным Риманом? Не противоречит ли это другим законам? Можно ли сделать его не противоречащим?

Вторым постулатом нестыковки не исчерпались. Риманово понятие прямой привело к другим затруднениям, которым Риман не имел объяснений. Например, большие круги нарушают допущение, что две прямые могут пересекаться лишь в одной точке. Как и линии долгот, пересекающиеся на обоих полюсах, все большие круги пересекаются в двух точках на противоположных сторонах сферы.