Некоторые выдающиеся математики (современные и из ближайшего прошлого), отказываясь приговаривать себя к подобной резкой дихотомии, пошли на компромисс и остановились на промежуточной позиции. Для Гаусса (1777–1855) (обычно включаемого в число трех или четырех величайших математиков в истории) число, одно из всех математических понятий, являлось потребностью разумной мысли, если не фактически «созданием этой мысли». Для Л.Э.Я. Брауэра (1882—[1966]), лидера в пересмотре логики бесконечного, люди рождены с «первоначальной интуицией» «бесконечной последовательности индивидуально различимых предметов», и поэтому, может статься, уже при рождении им дана способность представлять, что последовательность натуральных чисел не имеет никакого конца.
Но для большинства нет середины. Числа или плоды человеческого изобретения, или они существуют «вне времени и вне пространства», как существовали для Платона его идеальные числа, навсегда независимые от человеческого сознания, хотя и не за пределами некоторого восприятия со стороны человеческой мысли.
Кем бы ни был тот, кто первым постиг, что натуральные числа не имеют конца, он, видимо, был сокрушен внезапным открытием. Конечно, исчисляемые дни его жизни, даже если бы ему предстояло прожить миллион лет, оказывались ничем в бесконечной продолжительности вечности, и вся его жизнь была всего лишь мгновенной вспышкой в бесконечной темноте. Частица того позабытого ужаса нашла отражение в декаде пифагорейцев. Чтобы избежать «исчисляемую бесконечность» чисел, противостоявшую им, они спрятались за сказку, что все числа за пределом примитивных десяти, которые можно пересчитать по пальцам, имеют лишь повторную, подражательную действительность и могут игнорироваться для целей науки и философии. Самое раннее документарное свидетельство, что этот суеверный ужас перед «исчисляемой бесконечностью» был преодолен, – это доказательство Евклида (приблизительно III век до н. э.), что последовательность натуральных простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37… бесконечна. Доказательство косвенное, и сами пифагорейцы могли бы додуматься до него, если бы они столь не боялись довериться разуму за пределами конечного свидетельства очевидности чувственного восприятия.
В чрезвычайно искусном доказательстве Евклида есть намек на коварные логические трудности, на которые реально прольется свет уже только в ХХ столетии. Особенно это касается метода доказательства от противного и значения «вещественности» в математике. Прежде чем описывать суть, следует вспомнить две детали традиционного дедуктивного умозаключения. Позже мы еще раз столкнемся с этим в связи с диалектикой Платона.