Если мы надеемся доказать, что некое утверждение S истинно и нет никакого иного способа доказать это, мы допускаем, что S, напротив, ложно. Тогда, если из этого допущения мы можем вывести противоречие, по классической логике немедленно следует вывод, что S истинно. Это и есть метод доказательства «от противного», знакомое reductio ad absurdum, или сведение к абсурду, из курса школьной геометрии. Впервые Евклид использовал метод от противного при доказательстве, что, если два угла треугольника равны между собой, противоположные этим углам стороны тоже равны. Он также прибегнул к этому методу при доказательстве, что последовательность простых чисел является бесконечной.
Другой метод классической логики также нашел частое применение в математических рассуждениях. Вместо допущения, как в методе от противного, что утверждение S, которое мы надеемся доказать, ложно, мы предполагаем, что оно истинно. Затем мы выводим следствия из этого предположения. Если известно, что одно из них является истинным, и если шаги, которые вели к этому, логически обратимы, мы можем вывести по всем правилам классической логики, что утверждение S истинно. Но если шаги необратимы, мы не можем вывести правомерность утверждения S, и действительно утверждение S оказывается ложным. В спешке или по невнимательности необходимая обратимость шагов иногда упускается из виду. Подобный метод получил название «анализа», хотя слово это имеет другое важное значение (ненужное для нашей цели) в современной математике. Некоторые историки приписывают изобретение этого метода Платону, который конечно же оценил его возможности и в философском и в математическом рассуждении, даже если он и не являлся ни первооткрывателем этого метода, ни тем, кто первым отстаивал его использование в геометрии.
Метод доказательства от противного и аналитический метод вместе составляют главную тактику, по крайней мере более ранних стадий платоновской «диалектики» – категоричное слово для краткого определения метода рассуждения, но значение которого дает не слишком туманное понимание конкретного метода достижения истины. В диалектике все ложное счищается, как скорлупа ореха, и отбрасывается прочь, пока не останется ничего или только ядро неоспоримо очевидных утверждений. Однако в который раз природа обнаруженных истин зависит от тех постулатов, на которых базируется логика. Ученый легко может предоставить универсальную вескость постулатов и подобным же образом доказать непогрешимость логики. Как результат – система истин, приемлемых для тех, кто сходится во мнении, что и постулаты и логика бесспорны. В частности, если система должна удовлетворить рациональное мышление, логика не имеет права строить выкладки, не соответствующие постулатам, на которых она базируется. Именно в этом пункте современные математики нашли необходимым проявить осторожность. Утверждение относительно конечного множества предметов или явлений может быть доказано или опровергнуто опытным путем, или поочередно для каждого элемента множества, или, если множество слишком многочисленно, созданием четко определенного правила, посредством которого такое испытание могло бы быть осуществлено в конечный отрезок времени. Если «предметы» являются суждениями и требуется установить правдивость их всех, классическая логика разрешает утверждать, что каждое из них определенно «истинно» или «ложно», и испытание должно сводиться к решению, что есть что. И снова каждый элемент конечного множества имеет легко распознаваемую индивидуальность, благодаря которой может быть отличим от остальных: он именно такой, а не иной. Мы по-прежнему остаемся в пределах области здравого смысла, и пока никто не внес серьезных возражений против математического рассуждения относительно конечного множества, основанного на этих допущениях традиционной логики. Но с бесконечным множеством или бесконечной совокупностью у рационального мышления возникает повод для сомнений.