Возьмем, например, арифметическое утверждение, в котором каждое натуральное число является или четным, или нечетным. Поскольку множество всех натуральных чисел бесконечно, невозможно проверить каждое из них (поделив на 2 и отметив, является ли остаток 0 или 1), чтобы установить, какое оно. Аналогично для простых чисел: мы утверждаем, что любое натуральное число является либо простым числом, либо составным, и, если нам дано число из конечного множества чисел, с которыми возможно производить вычисления в пределах человеческих возможностей, мы определим, какое оно. Но если мы не в состоянии генерировать все четные числа или все простые, до какой степени, если таковая известна, мы можем здраво заявлять, будто все натуральные числа являются или четными, или нечетными; или простыми, или составными? И до какой известной степени можно считать, что существует то, что не может быть ни сгенерировано, ни использовано в выполнимых вычислениях? Есть ли у доказательства «вещественности» без определения метода изготовления та же самая логическая надежность, как у доказательства, которое фактически показывает, как произвести «вещественное» нечто?
Такие сомнения не тревожат тех, кто полагает, что числа существуют сами по себе и люди лишь наблюдают и изучают идеальное царство, в котором числа продолжат существовать, когда человеческая раса прекратит загрязнять землю. Подобно правилам классической логики и теорем геометрии, они также «существуют» в запредельной для человечества сфере Вечной жизни.
Другие же, более приземленные, в попытках обнаружить любые присущие ограничения, которым подчинена определенная система дедуктивного умозаключения, достигают следующих неожиданных выводов. В любой дедуктивной системе, достаточно инклюзивной, чтобы принимать арифметику натуральных чисел, «неразрешимые» утверждения могут быть построены. Утверждение считается «неразрешимым» в отдельно взятой специфической системе, если ни его правдивость, ни его ошибочность не может быть доказана любым способом в пределах этой системы. Существование неразрешимых утверждений обосновывается их демонстрацией и доказательством, что они являются неразрешимыми. Это не вопрос неспособности доказать или опровергнуть некоторые утверждения из-за элементарного недостатка мастерства. Никто и никогда не сможет доказать или опровергнуть неразрешимое утверждение.
Этот конечный вид достоверности возникает из метода дедуктивного умозаключения, существовавшего приблизительно двадцать три столетия от Платона и Аристотеля к Гёделю, который первый выдвинул (1931) неразрешимое утверждение. Философы Античности и их традиционные последователи Средневековья, похоже, стремились ко всемогущей логике, которая в конечном счете разрешает любую проблему либо положительно, либо отрицательно. Математические логики ХХ столетия показали, что по крайней мере в математике цели древних недосягаемы. Но усилия всех математиков и логиков от Фалеса до ХХ столетия по достижению недосягаемого ни в коем случае не являлись пустой тратой времени и мысли. Возникнув из признания Фалесом, что дедуктивное умозаключение одновременно возможно и полезно, и продолжившись в успешных попытках греческих математиков (от Пифагора до Платона) дать последовательный счет как рациональных, так и иррациональных «величин», поиск универсальной достоверности многое выявил из того, что представляет непреходящий интерес для философии не меньше, чем для математики. Столетия позже часть всего, что было открыто во времена культивирования познания ради самого познания, оказалось непреложным и необходимым одиноким труженикам на заре новой эры науки. Можно привести классический пример. Кеплер, возможно, никогда не определил бы орбиты планет как эллипсы (с Солнцем в едином центре), если бы ему была недоступна греческая геометрия конических сечений. Не имея в качестве ориентира законов Кеплера, описывающих планетарные орбиты, Ньютон никогда не предложил бы миру свой закон всемирного тяготения; а без закона всемирного тяготения Ньютона развитие астрономии, физики и современной технологии шло бы совсем не так, как последние два с половиной столетия.