Потрясающее открытие пифагорейцев, что не все числа рациональны (то есть выражение a/b, где a, b – целые числа), знаменует основной поворотный момент в развитии дедуктивного умозаключения. Это оказалось началом возникновения математических теорий непрерывности и бесконечности. Это также послужило поводом для появления значительно иной эпистемологии и пересмотра некоторых старых теорий познания; а в направлении современной науки теория греков о непрерывности подготовила путь к пониманию движения. Эта эпохальная веха в развитии математической и философской мысли столь значительна, что кое-что из ее истории может быть интересным.
После открытия, что квадратный корень из двух не является рациональным числом, греческие геометры доказали подобное для многих других квадратных корней. Во времена Платона существование иррациональных чисел (как мы сейчас сформулировали бы) занимало философов, которые только от случая к случаю интересовались математикой. В диалоге Платона «Теэтет» Сократ пытается добиться от Теэтета объяснения понятия «знание».
«– Наберитесь храбрости и смело скажите, что вы считаете знанием:
Набравшись храбрости, Теэтет отвечает.
– Думаю, что науки, которые я изучаю у Феодора [Киренского, славившегося в 380 году до н. э.], – геометрия и те, что вы сейчас упомянули, и есть знание. Я бы еще прибавил мастерство сапожника и других ремесленников. Все это – знание».
Понятно, что Теэтет не поскупился и включил слишком много в свой перечень, дабы угодить столь непреклонному экзаменатору, как Сократ, и философ вынуждает свою жертву признать, что тот так и не сумел сформулировать, что такое «знание» как отвлеченное понятие, и затем пытается вытянуть из него, что такое глина. Сократ, видимо, мучительно пытается заставить Теэтета уловить и понять, что универсальная глина – не эта глина и не та глина, а глина как Вечная идея, Форма, в которой простые конкретные глины изготовителей кирпичей и очагов, гончары и другие ремесленники в некотором смысле «участвуют». Сократа не интересует ни одна из них. Он ищет нечто универсальное, абстракцию, идею, и Теэтет довольно оптимистично решает, будто постиг суть. В ответ на вежливую просьбу Сократа он делится с ним:
– Феодор выписал нам кое-что относительно [квадратных] корней, таких как 3 или 5, показывая, как в линейном измерении (то есть согласно сторонам квадратов) они несоизмеримы с единицей. [В нашей терминологии квадратные корни из 3 и 5 – иррациональные числа.] Он выбрал числа, которые являются корнями вплоть до 17, но дальше он не пошел. Поскольку имеются неисчислимые корни, мы задумали объединить их всех под одним названием.