Красота в квадрате (Беллос) - страница 91
Возьмем в качестве примера историю города Боулдер. За период с 1950 года (когда туда переехал Бартлетт) по 1970 год численность его населения в среднем ежегодно увеличивалась на шесть процентов. Для того чтобы определить численность населения к концу первого года, необходимо первоначальное значение умножить на 1,06, к концу второго года — на (1,06)>2, к концу третьего года — на (1,06)>3 и т. д., а значит, здесь мы имеем экспоненциальную последовательность.
На первый взгляд кажется, что сами по себе шесть процентов — не так много, но за два десятилетия это привело к увеличению численности населения города более чем в три раза, с 20 000 до 67 000 человек. «Это ужасающий рост, — сказал Бартлетт, — и с тех пор мы делаем все возможное, чтобы замедлить его» (в настоящее время население города составляет почти 100 000 жителей). Страстное желание Бартлетта объяснить людям суть экспоненциального роста обусловлено его решимостью сохранить качество жизни в родном городе, расположенном в горах.
Важно помнить, что если процентный рост за единицу времени представляет собой постоянную величину, то он подчиняется экспоненциальному закону. Следовательно, если даже рассматриваемая величина начинает расти достаточно медленно, этот рост резко ускорится, и в ближайшее время значение величины станет настолько большим, что поначалу это покажется противоречащим здравому смыслу. Практически все экономические, финансовые и политические показатели (такие как объем продаж, прибыль, курс акций, ВВП и численность населения) рассчитываются в виде относительного изменения за единицу времени, а значит, экспоненциальный рост очень важен для понимания того, как устроен наш мир.
Так было и полтысячелетия назад, когда озабоченность проблемой экспоненциального роста привела к использованию арифметического эмпирического «правила 72», впервые упомянутого в трактате Луки Пачоли Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità («Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности»), который стал математической библией эпохи Возрождения. Если рост той или иной величины подчиняется экспоненциальному закону, значит, существует определенный промежуток времени, за который ее значение удвоится (этот период обозначается термином «период удвоения»). «Правило 72» гласит, что величина, растущая на Х процентов каждый период времени, увеличится в два раза примерно за
