Красота в квадрате (Беллос) - страница 94
В 1973 году Дэниел Канеман и Амос Тверски продемонстрировали, что люди называют намного меньшие числа, оценивая результат умножения 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8, чем результат умножения 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1, хотя на самом деле эти произведения идентичны. Это позволило сделать следующий вывод: наши суждения зависят от порядка прочтения чисел [4]. (Медианный ответ по возрастающей последовательности был 512, а убывающей — 2250. На самом деле обе оценки существенно меньше правильного ответа — 40 320.) Результаты исследований Канемана и Тверски позволяют понять, почему мы всегда будем недооценивать экспоненциальный рост: первые члены любой последовательности как будто привязывают нас к себе, «ставят на якорь», причем этот эффект наиболее заметен в случае возрастающей последовательности.
Экспоненциальный рост может быть либо пошаговым, либо непрерывным. В аналогии с бактериями, использованной в своей лекции Бартлеттом, одна бактерия превращается в две, две бактерии превращаются в четыре, четыре — в восемь и т. д. Население также увеличивается на целые числа за фиксированные промежутки времени. Однако на представленном ниже рисунке кривые растут экспоненциально и непрерывно. В каждой точке кривая повышается со скоростью, пропорциональной ее высоте.
Экспоненциальные кривые
Когда уравнение представлено в виде y = a>x, где a — положительное число, кривая демонстрирует непрерывный экспоненциальный рост. Кривые на рисунке описаны уравнениями y = 3>x, y = 2>x и y = 1,5>x; другими словами, эти кривые отображают последовательности, в которых каждый очередной член в три, два и полтора раза больше предыдущего. Например, в случае уравнения y = 2>x, если x равно 1, 2, 3, 4, 5…, тогда y равно 2, 4, 8, 16, 32…
На графике меньшего масштаба (см. первый рисунок) кривые напоминают ленты, приколотые к вертикальной оси в точке 1. На графике более крупного масштаба (второй рисунок) можно увидеть, что все кривые разделяют одну судьбу: приближаются к вертикальной оси всего через несколько единиц по горизонтальной оси. Совсем не похоже на то, что эти кривые покроют когда-либо всю плоскость по горизонтали, хотя на самом деле это обязательно произойдет. Если бы я захотел показать на графике кривую y = 3>x, где x = 30, страницу нужно было бы растянуть на сто миллионов километров по вертикали.
Когда кривая растет по экспоненциальному закону, то чем выше она поднимается, тем круче становится. Чем дальше мы перемещаемся по такой кривой, тем быстрее она растет. Однако прежде, чем продолжить, давайте познакомимся с новым понятием — понятием градиента, математического показателя крутизны подъема. Градиент наклона равен отношению изменения высоты к изменению расстояния по горизонтали — это должно быть хорошо знакомо каждому, кто когда-либо ехал на автомобиле или велосипеде по горной дороге. Если дорога поднимается на 100 метров за 400 метров пути по горизонтали, как показано на рисунке ниже, то градиент составляет