, причем этот способ сам по себе приводит к разным неприятным осложнениям. Например, рациональные числа, то есть простые дроби, принадлежат, как выяснилось, к более высокому типу, чем натуральные числа. Чтобы избежать некоторых таких осложнений, Рассел и Уайтхед ввели дополнительную аксиому, так называемую аксиому сводимости, которая сама по себе вызывает серьезные противоречия и недоверие.
Математики Эрнст Цермело и Абрахам Френкель предложили более изящные способы искоренить парадоксы. Они, в сущности, сумели снабдить теорию множеств самодостаточной системой аксиом и воспроизвести большинство результатов этой теории. На поверхностный взгляд сбылась мечта платоников – по крайней мере, отчасти. Если теория множеств и логика и в самом деле две стороны одной медали, значит, прочный фундамент теории множеств обеспечивает и прочный фундамент логики. А если к тому же почти вся математика выводится из логики, это придает математике своего рода объективную надежность, которую, кроме всего прочего, можно было бы привлечь для объяснения эффективности математики.
К сожалению, ликовали платоники недолго, поскольку их почти сразу же постиг тяжелый случай дежавю.
Опять неевклидов кризис?!
В 1908 году немецкий математик Эрнст Цермело (1871–1953) прошел по пути, очень похожему на тот, который проложил Евклид около 300 года до н. э.[132]. Евклид сформулировал несколько недоказуемых, но, как предполагалось, самоочевидных постулатов о точках и линиях, а затем на их основании выстроил геометрию. Цермело – который независимо нашел парадокс Рассела еще в 1900 году – предложил способ выстроить теорию множеств на таком же аксиоматическом фундаменте. В его теории парадокс Рассела обходился при помощи тщательного отбора принципов конструирования, исключавших противоречивые идеи вроде «множества всех множеств». Систему Цермело в 1920-е годы развил и дополнил израильский математик Абрахам Френкель (1891–1965), в результате чего была создана так называемая теория множеств Цермело-Френкеля (важные коррективы внес и Джон фон Нейман в 1925 году)[133]. Все складывалось почти идеально, оставалось лишь доказать непротиворечивость, однако очень скоро возникли неприятные подозрения. Была одна аксиома – аксиома выбора, – которая, в точности как знаменитый «пятый постулат» Евклида, не давала математикам спокойно спать. На простом и понятном языке аксиома выбора гласит: если Х – набор (множество) непустых множеств, можно выбрать по одному члену из каждого множества в Х и сформировать из них новое множество