при условии, что действительные части х и у являются положительными. Еще один способ состоит в использовании гамма-функции, которую мы определили выше:
В(х,у) = Г(x)Г(y)/Г(x+y).
ЧИСЛА ФЕРМА
После изучения гамма- и бета-функций Эйлер занялся теорией чисел, вдруг резко изменив направление своей научной работы, что было для него весьма характерным. В частности, его привлек вопрос, который за век до того оставил нерешенным французский ученый Пьер Ферма (1601-1665).
МАТЬ ВСЕХ ФУНКЦИЙ
Дзета-функция — королева всех математических функций, она привлекает наибольшее внимание специалистов, и ей посвящено наибольшее количество сайтов в интернете. Ее название происходит от греческой буквы ξ (дзета), и в первый раз ее использовал Эйлер в решении так называемой Базельской задачи, принесшей ему известность. Эйлер доказал, что бесконечная сумма обратных квадратов равна π>2/6:
1 + 1/2>2 + 1/32 + 1/4>2 + ... + π>2/6,
а затем обобщил этот результат, рассмотрев подробнее следующую функцию:
ξ(x) = 1 + 1/2>x + 1/3>x + 1/4>x + ...
Она может принимать любое значение х из области R вещественных чисел. Эйлер вычислил множество значений дзета-функции, но прямой метод нахождения этих бесконечных сумм неизвестен и по сей день. Сам Эйлер открыл способ приведения бесконечной суммы £ к конечному результату, получив, благодаря легкости обращения с алгебраическими формулами, выражение
ξ(x) = Σ>n=1>∞1/n>s = ∏>k=1∞1/(1 - 1/p>k>s),
где р>k пересекают исключительно область простых чисел. Так обнаружилась неожиданная связь дзета-функций с этими числами. При помощи инструментов анализа дзета-функцию можно перенести в комплексную область, если брать значения s не из области R (то есть вещественных чисел), а из комплексной области С. Впервые дзета-функцию до этой области расширил и изучил великий немецкий математик Бернхард Риман (1826-1866). Сегодня эта функция известна как дзета-функция Римана, и с ней связана так называемая гипотеза, или проблема Римана: невероятное предположение, которое до сих пор не было доказано и считается одной из главных нерешенных задач современной математики. Гипотеза Римана входит в число семи проблем тысячелетия, за решение каждой из которых Институт Клэя в качестве приза выплатит один миллион долларов.
Связь между Эйлером и Ферма была очень тесной. Если мы проследим научные изыскания Эйлера в теории чисел, то увидим, что в основном он пытался решить одну за другой оставленные без ответа задачи Ферма. Это было непросто, поскольку французский ученый редко записывал свои вопросы отдельно, а обычно делал комментарии прямо в книгах, которые читал и анализировал. Он любил бросать вызов своим коллегам, задавая им задачи, которые сам уже решил.