До предела чисел. Эйлер. Математический анализ (Наварро) - страница 17

Один из самых интересных вопросов из наследия Ферма — числа, которые были названы его именем, числа Ферма. Они обозначаются буквой F и определяются формулой

F_>n = 2^>2n +1.

При n = 0,1,2,3,4 получим

_{>F0 = 2}^>_>20_{> + 1 = 2^>1 + 1 = 3}

_{>F1 = 2}^>_>21_{> +1 = 2^>2 + 1 = 4 + 1 = 5}

>F2 = 2>2>2> + 1 = 2>4 + 1 = 16 + 1 = 17

_{>F3 = 2}^>_>23_{> + 1 = 2^>5 + 1 = 256 + 1 = 257}

_{>F4 = 2}^>_>24_{> + 1 = 2^>16 + 1 = 65 536 + 1 = 65 637.}

Все они являются простыми числами. Следующее число Ферма выглядит так:

_{>F5 = 2}^>_>25_{> + 1 = 2^>32 +1 = 4 294 967 296 + 1 = 4 294 967 297.}

Было бы логично предположить, что оно, как и предыдущие, является простым. По стандартам того времени более рискованно, хотя и не намного, было выдвинуть гипотезу (как сделал Гольдбах) о том, что все эти числа простые, подтверждая тем самым мнение самого Ферма. Гольдбах сообщил Эйлеру об этой задаче в 1729 году, а в 1732-м тот уже нашел ее решение: F_>5 — не простое число, а составное:

F5 = 4 294 967 297 = 641 • 6700 417.

Первой реакцией на этот результат было изумление. Ведь чтобы провести факторизацию этого числа, деля его на 2,3,5,7, 11,13 и так далее, продолжая перебирать бесконечную последовательность простых чисел, требовались колоссальные усилия.

Ферма был юристом по профессии и занимался математикой исключительно как хобби, за что получил прозвище "король любителей". Он внес решающий вклад в создание аналитической геометрии, а также в развитие теории вероятностей и оптики, изучал отражение и преломление света и отнес эти явления к максимумам и минимумам, заложив таким образом основы дифференциального исчисления. Наибольшую известность Ферма принесли его исследования о теории чисел, в которых ярко проявились его удивительные способности и необычные методы работы. Обычно он не записывал свои рассуждения отдельно, а делал, пока хватало места, пометки на полях книг, которые читал. Всемирной известностью он обязан появлению теоремы, гласящей, что "для n > 2 не существует таких целых положительных чисел х, у, z, не равных нулю, для которых справедливо х^>n+у^>n=z^>n". Она известна как Великая теорема Ферма, и долгое время у нее не было доказательства. Ферма утверждал — хотя, вполне возможно, ошибочно, — что однажды во время чтения он нашел превосходное доказательство, но на полях книги не было достаточно места для его записи. Теорема была доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом.

Если же рассмотреть приемы Эйлера подробней, можно понять его метод и, одновременно с этим, гениальность ученого. Постепенно, следуя по скользкому пути деления, Эйлер пришел к выводу — совсем не простому,— что любой делитель F