До предела чисел. Эйлер. Математический анализ (Наварро) - страница 20
Pn = 1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)>N/N!
Эта величина очень похожа на сумму с пределом е. Действительно, ее пределом является 1/е. Если же гостей очень много, то есть N — большое число, то
P>N = 1/e = 36,79 %.
С этого момента, в частности в серии статей, написанных начиная с 1736 года, Эйлер официально называл ее постоянной. Он дал ей определение и связал предел Якоба Бернулли с логарифмами, которым он также дал современное определение. Эйлер принял е за основу натуральных логарифмов и таким образом обессмертил ее, вычислив первые 18 цифр — возможно, с помощью прямой суммы первых 20 членов ряда, который он же сам и обнаружил:
e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...
Если это так, то этот подвиг Эйлера можно считать невероятным, почти невозможным. Тем не менее ученый часто выказывал сверхчеловеческие вычислительные способности, и многие склонны верить, что он прибег именно к этому методу.
О том, почему Эйлер выбрал именно букву е, высказывалось множество версий. Несмотря на самые распространенные из них, здесь нет связи со словом "экспонента" на немецком языке или с первой буквой его собственного имени. Есть предположение, что изначально ученый хотел обозначить постоянную через а, но она уже была занята другой величиной в его вычислениях. В любом случае, Эйлер так и не объяснил причины своего выбора.
Большая часть сведений о е содержится в его шедевре "Введение в анализ бесконечных", написанном в Берлине и изданном в 1748 году. В нем Эйлер окончательно установил, что логарифм и возведение в степень являются обратными друг другу операциями, то есть
у - а>x тогда и только тогда, когда x-log>ay.
Эта формула истинна для любого основания а, в том числе для а = е. Есть еще один аспект, который относится к области анализа и возведению в степень с основанием е, — функция ƒ(x) = еx совпадает со своей производной:
de>х/dx = e>x.
Постоянная е — трансцендентное число, то есть его нельзя получить, решая алгебраическое уравнение с рациональными коэффициентами. Для доказательства трансцендентности какого-либо числа в первую очередь надо проверить его на иррациональность (число называется иррациональным, когда его нельзя выразить в виде соотношения двух целых чисел). Это совсем не простая задача, и Эйлеру это не удалось. Тем не менее он подошел довольно близко к правильному решению, найдя следующую непрерывную дробь:
Получив доказательство того, что эта дробь бесконечна, он показал:
(е-1)/2
является иррациональным числом. Наконец, в 1873 году Шарль Эрмит (1822-1901) доказал трансцендентность числа е.