До предела чисел. Эйлер. Математический анализ (Наварро) - страница 61

i0 = 1,i1 = i,i2 = -1,i3 = -i,

i>4 - 1, i>5 = i, i>6 = 1,i7 = i и так далее.

Напомним также, что ряды степеней е и тригонометрических функций синус и косинус раскладываются в ряд Тейлора или степенной ряд следующим образом:

ex = x>0/0! + x>1/1! + x>2/2! + x>3/3! + x>4/4! + ...

cosx = x>0/0! + x>2/1! + x>4/4! + x>6/6! + ...

sinx = x>1/1! + x>3/3! + x5/5! + x>7/7! + ...

Произведем вычисления:

e>ix = (iz)>0/0! + (iz)>1/1! + (iz)>3/3! + (iz)>4/4! + (iz)>5/5! + (iz)>6/6! + (iz)>7/7! + (iz)>8/8! + ... = z>0/0! + i(z>1/1!) + z>2/2! + i(z>3/3!) + z>4/4! + i(z>5/5!) + z>6/6! + i(z>7/7!) + z>8/8! + ... = (z>0/0! + z>2/2! + z>4/4! + z>6/6! + z>8/8! + ...) + i(z>1/1! + z>3/3! + z>4/4! + z>6/6! + z>8/8! + ...).


6. КРИПТОГРАФИЯ И МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА

Пусть М — сообщение, а С — зашифрованное сообщение (или криптограмма). Предположим, что оба они — натуральные числа. Обозначим через ƒ функцию, которая преобразует М в С: ƒ(M) = С. Чтобы зашифровать М, выбирают два очень больших простых числа, р и q, и определяют модуль, который мы назовем n, так что n = pq и n > М. Выберем такое е, что 1 < е < φ(n), а е и φ(n) взаимно простые числа. Открытый ключ состоит из n и е, и он всем известен. Поскольку n — очень большое число, узнать значение р и q невозможно. Мы имеем E = ƒ(M) ≡ M>e (mod n). Назовем закрытым ключом пару n, d, где d выбрано так, что de ≡ 1 (mod φ(n)). Поскольку ρ и q — простые числа, a pq = n, получим, что φ(n) = (р - 1)(q - 1); если мы не знаем p и q, а узнать их фактически невозможно, то мы не можем узнать и φ(n). Следовательно, мы не можем узнать d. Но у получателя есть значение d, следовательно, он знает р и q и может перейти к расшифровке сообщения: E>d ≡ (M>e)>d (mod n) ≡ М>ed (mod n) ≡ M>Nφ(n)+1 (mod n), N € Ν. Теперь применим малую теорему Ферма. Если а = M>N (a и n почти стопроцентно взаимно простые), то, применяя теорему, мы получаем: E>d ≡ Ма>φ(n) (mod n) ≡ M (mod n) = M, поскольку М < n, как мы договорились в начале.

Из этого объяснения видно, что создать ключ расшифровки довольно легко, поскольку нужны всего два больших простых числа, р и q, а разложить его, напротив, очень трудно.

Список рекомендуемой литературы

Bell, Е.Т., Los grandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.

Boyer, C., Historia de la matematica, Madrid, Alianza Editorial, 2007.

Bradley, R., et Sandifer, E. (editores), Leonhard Euler: life, work and legacy, Amsterdam, Elsevier B.V., 2007.

Dunham, W., Euler, el maestro de todos nosotros, Madrid, Nivola,

2000.

Galindo, A. et al., La obra de Euler: tricentenario del nacimiento de Leonhard Euler (1707-1783), Madrid, Instituto de Espana, 2009.