Инновации на финансовых рынках (Авторов) - страница 184
Опираясь на модель частичных моментов низших порядков (Lower Partial Moment – LPM), предложенную в 1975 г. В. Бава [Bawa, 1975], в работе В. Бава и Э. Линденберга [Bawa, Lindenberg, 1977] получила развитие еще одна равновесная модель формирования доходности активов с введением односторонней меры риска: «среднее – частичные моменты низшего порядка» (Mean-Lower Partial Moment Model – MLPM). Односторонний бета-коэффициент (BL-beta) в этой конструкции рассчитывается следующим образом:
где CLPM>n(R>F; М, j) определяется как систематическая мера риска (co-LPM) порядка п между активом j и рыночным портфелем (М):
В целом LPM>n(R>F;M) (моменты низших порядков) представляет собой меру оценки одностороннего риска – одностороннюю дисперсию, только с учетом определенного вида функции полезности (n-степенной) и записывается следующим образом:
LPM>0 нулевого порядка соответствует всем функциям полезности инвесторов, которые предпочитают линейный рост доходности (u' > 0). LPM>1 1-го порядка включает все функции полезности, характерные для инвесторов – противников риска (u' > 0 и u" < 0). LPM>2 (2-го порядка) характеризует инвесторов, не только не склонных к риску, но и обладающих смещенными предпочтениями (u' > 0, u" < 0 и u'" > 0). Отметим, что, фиксируя n на 2-м уровне (т. е. выбирая общеупотребимую в теории финансов функцию полезности инвесторов), модель MLPM [Bawa, Lindenberg, 1977] преобразуется до модели ES-CAPM [Hogan, Warren, 1974]. Для расчета одностороннего бета-коэффициента Бава и Линденберг [Bawa, Lindenberg, 1977] в качестве целевой нормы доходности (бенчмарка), как и в работе [Hogan, Warren, 1974], используют безрисковую ставку процента.
В еще одной модели, развивающей конструкцию САРМ, – модели Харлоу и Pao [Harlow, Rao, 1989] – также используется односторонний бета-коэффициент (HR-beta), который вычисляется по формуле:
где R>i – доходность актива i; R>M – доходность рыночного портфеля, μ>i, – средняя доходность актива i, μ>M, – средняя доходность рыночного портфеля.
По сравнению с моделью Бава – Линденберга (1977) в модели Харлоу – Рао (1989) отклонение доходности актива и портфеля рассчитывается по отношению к соответствующим средним значениям (актива и рынка (индекса)).
Хавьер Эстрада [Estrada, 2002; 2007] предложил еще один вариант расчета бета-коэффициента для конструкции САРМ в рамках одностороннего риска, который позволил преодолеть ряд пробелов в ранее упомянутых моделях. X. Эстрада показал, что односторонняя ковариация, предложенная Хоганом и Варреном, Бава и Линденбергом, а также Харлоу и Рао, имеет ряд ограничений. Односторонняя ковариация между доходностью актива