Как не ошибаться. Сила математического мышления (Элленберг)

Russell Bertrand. The Study of Mathematics // Mysticism and Logic: And Other Essays. Longman, 1919. P. 60. Прим. М. Г.

Здесь и далее все постраничные сноски даются в квадратных скобках. Примечания, написанные научным редактором, даны с пометой М. Г.; примечания, сделанные редактором, – с пометой ред.; авторские примечания – без какой-либо пометы.

В объяснении правил судоку в английской версии газеты Metro, в частности, сказано: «Хотя это игра с числами, она не требует математических навыков – только понимания логики и терпения». Прим. М. Г.

Отец Пола [Пол Вулфовиц – американский политик, президент Всемирного банка (2005–2007). Прим. М. Г.].

Сэвидж был почти слепым и видел только уголком одного глаза. Как-то, чтобы доказать какую-то свою идею об освоении Арктики, он целых полгода питался одним пеммиканом [мясной концентрат; пища индейцев Северной Америки и основной мясной продукт в арктических и антарктических экспедициях начала XX века. Прим. М. Г.]. Просто подумал, что об этом стоит упомянуть.

Отдельный интересный вопрос, как измерять качество питания в процентах. Прим. М. Г.

Физик Ричард Фейнман утверждал, что математики не ставят таких вопросов: «…Я всегда выигрывал. Если я угадывал – здорово. Если не угадывал, то всегда мог найти в их упрощении что-то, что они упускали из виду» (Р. Ф. Фейнман. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман! / Пер. с англ. Н. А. Зубченко, О. Л. Тиходеевой, М. Шифмана. М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. С. 39). Прим. М. Г.

Например, истории о том, что дельфины выталкивают тонущих людей на берег. На самом деле дельфины поддерживают тонущего на плаву, подталкивая в произвольных направлениях (что естественно для водных млекопитающих), но только выжившие – те, кого подтолкнули к берегу, – смогли рассказать о встрече с ними. Прим. М. Г.

Взаимный фонд, или фонд взаимных инвестиций (mutual fund), – портфель акций, отобранных и приобретенных профессиональными финансистами на вложения большого числа мелких вкладчиков. Прим. М. Г.

Справедливости ради следует отметить, что сам индекс S&P 500 показал еще более высокий рост – 212,5 % за тот же период.

Железный человек по имени Энтони Эдвард, или Тони Старк, – герой комиксов. Прим. М. Г.

Парафраз известной формулировки Карла фон Клаузевица: «Война есть не что иное, как продолжение государственной политики иными средствами» (К. Клаузевиц. О войне / Пер. А. Рачинского. М.: Логос; Наука, б.г. [1998]. С. 27). Прим. ред.

Владимир Игоревич Арнольд приводил следующие слова Годфри Харди (в двух вариантах – и оба раза с негодованием): 1) «Общая черта королевы и математики – полная бесполезность обеих» (В. Арнольд. Переориентация науки на «прикладные исследования» приведет к снижению интеллектуального уровня страны // Троицкий вариант – Наука. 2008. № 19. http://trv-science.ru/2008/12/23/18/); 2) «Теория чисел является королевой математики вследствие своей полной бесполезности» (В. Арнольд. Нужна ли в школе математика? Доклад на Всероссийской конференции «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков» в Дубне 21 сентября 2000 года // Скепсис. http://scepsis.net/library/id_649.html). Харди написал это в начале прошлого века. Сейчас всякий раз, когда вы пользуетесь кредитной карточкой, вы (точнее, банк) используете алгоритмы шифрования транзакций, основанные на результатах теории чисел. Прим. М. Г.

См.: J. von Neumann. Collected Works. Volume I: Logic, Theory of Sets and Quantum Mechanics. New York; London; Oxford; Paris: Pergamon Press, 1961. Pp. 1–9. [Приведенная далее цитата дается в пер. Ю. А. Данилова, см.: Ю. А. Данилов. Математик фон Нейман и его «Математик» // Природа. 1983. № 2. С. 86–87. Прим. перев.]

В настоящее время специалисты называют теорему Ферма теоремой Уайлса, поскольку Эндрю Уайлс доказал ее (не без помощи Ричарда Тейлора), тогда как Ферма не сделал этого. Однако, по всей вероятности, традиционное название неискоренимо и вряд ли будет когда-нибудь вытеснено.

Ее доказал Григорий Перельман. Прим. М. Г.

Это гипотеза. Прим. М. Г.

Правда, в двадцать с лишним лет я все-таки потратил какое-то время на нешуточные размышления, не стать ли мне настоящим писателем. Я даже написал и опубликовал вполне глубокомысленное литературное произведение – роман The Grasshopper King («Король кузнечиков»). Но пока я работал над ним, то обнаружил, что по полдня слоняюсь в тоске, мечтая лишь об одном: решать математические задачи.

Ю. А. Данилов. Математик фон Нейман и его «Математик». С. 86. Прим. М. Г.

Под «шведскостью» подразумевается вовсе не такая характерная особенность страны, как «всегда имеющаяся в наличии селедка под десятками разнообразных маринадов», а «уровень социального обеспечения и налогообложения» – состояние, к которому несомненно должны стремиться все без исключения государства.

Точнее, для этих и ряда последующих рассуждений автора существенна разница между монотонностью и немонотонностью. Прим. М. Г.

Или, если хотите, не линия, а линейный сегмент. Но я не собираюсь из этих терминологических расхождений раздувать целую проблему.

Гораций. Сатиры, II, 1, 106–107 / Пер. М. Дмитриева // Квинт Гораций Флакк. Оды, эподы, сатиры, послания. М.: Художественная литература, 1970. С. 248. Прим. ред.

Аристотель. Никомахова этика, кн. II, гл. 2, стр. 1104a / Пер. Н. Брагинской // Аристотель. Сочинения в четырех томах. М.: Мысль, 1983. Т. 4. С. 80. Прим. ред.

Фильм Джона Хьюза (1984), в котором роль преподавателя экономики сыграл известный экономический комментатор Бен Стайн. Прим. М. Г.

Эту часть истории Лаффер отрицает. По его словам, в ресторане были превосходные тканевые салфетки, которые он ни за что не стал бы портить экономическими закорючками.

Из книги «Физики шутят»: «Дирак любил потеоретизировать на самые различные темы. Однажды он высказал предположение, что существует оптимальное расстояние, на котором женское лицо выглядит привлекательнее всего; поскольку в двух предельных случаях – на нулевом и бесконечном расстоянии – “привлекательность обращается в нуль” (ничего не видно), то между этими пределами, естественно, должен существовать максимум» (Физики шутят / Составители-переводчики: Ю. Конобеев, В. Павлинчук, Н. Работнов, В. Турчин. М.: Мир, 1993). Прим. М. Г.

Примерно от 500 тысяч до 1 миллиона долларов в год в современном исчислении.

Похоже, я единственный, кто о ней вспомнил.

Американский политик Джек Френч Кемп в 1988 году проиграл на республиканских праймериз Бушу-ст., в 1996 году был кандидатом в вице-президенты (с Бобом Доулом). Прим. М. Г.

Трудно сказать наверняка, действительно ли увеличение объема налоговых поступлений было обусловлено тем, что богатые люди, освободившись от бремени подоходного налога, начали работать больше, как гласит теория предложения.

Или, что еще более вероятно, это вообще может быть не одна кривая, как показал Мартин Гарднер с помощью запутанной «неокривой Лаффера» в язвительной оценке теории предложения, изложенной в статье «Кривая Лаффера».

Ср. формализацию женской логики по Колмогорову: «Пусть[Р=>Q]и [Q приятно]; тогда Р»; см.: В. А. Успенский. Лермонтов, Колмогоров, женская логика и политкорректность // Неприкосновенный запас. 2000. № 6 (14). Прим. М. Г.

SAT (Scholastic Assessment Test, букв. «академический оценочный тест») – отборочный экзамен для выпускников школ на определение академических способностей. Прим. М. Г.

Кстати, нам неизвестно, кто первым доказал теорему Пифагора, хотя ученые почти убеждены, что это был не Пифагор. На самом деле, помимо засвидетельствованного современниками факта существования некоего ученого мужа с именем «Пифагор», жившего и обретшего славу в VI веке до нашей эры, мы ничего о нем не знаем. Основные сведения о жизни и работе Пифагора появились лишь через 800 лет после его смерти. К тому времени реального человека Пифагора полностью затмил миф о Пифагоре, вобравший в себя философские учения мыслителей, называвших себя пифагорейцами.

Российским ученым известно со школы, что пифагоровы штаны во все стороны равны. Прим. М. Г.

На самом деле нельзя, но до XVIII века никто не смог это доказать.

В действительности силосные башни не были круглыми до начала ХХ века, когда профессор Висконсинского университета Хорас У. Кинг не придумал – чтобы решить проблему порчи продукции, лежащей в углах башни, – цилиндрическую конструкцию, широко распространенную в наше время.

Точнее говоря, каждый из этих четырех фрагментов можно получить из исходного равнобедренного прямоугольного треугольника, вращая его по кругу на плоскости. Давайте примем без доказательств тот факт, что такие манипуляции не меняют площадь фигуры.

Во всяком случае, если вы, как и я, живете на Среднем Западе США.

Математический объект, который в каждой точке локально выглядит как обычное евклидово пространство, называется многообразием. Пример одномерного многообразия – окружность или любая другая кривая без углов и концов, например парабола. Примеры двумерных многообразий: сфера – поверхность шара; тор – поверхность баранки; крендель – поверхность кренделя; бутылка Клейна – в нашем обычном трехмерном пространстве невозможно представить эту поверхность, бутылка Клейна получается, если вытянуть горлышко обычной бутылки и соединить ее с донышком, предварительно проделав в нем дырку нужного размера и потом сгладив место соединения; фокус состоит в том, что вставить надо с внутренней стороны, иначе получится обычный тор, и при этом без пересечения стенки бутылки. Некоторые свойства многообразий описывает, в частности, уже упоминавшаяся гипотеза Пуанкаре. Прим. М. Г.

Дж. Беркли. Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику… // Беркли Дж. Сочинения / Сост., общ. ред. и вступит. ст. И. С. Нарского; пер. А. Ф. Грязнова, Е. Ф. Дебольской, Е. С. Лагутина, Г. Г. Майорова, А. О. Маковельского. М.: Мысль, 1978. С. 425–426. Прим. М. Г.

При отсутствии воздействия силы тяжести, сопротивления воздуха и т. д. и т. п. Однако на коротком интервале времени такое линейное приближение является достаточно точным.

По правде сказать, речь идет о подростках из летнего математического лагеря.

Есть объект, 2-адические числа, для которых этот довод, на первый взгляд бредовый, абсолютно корректен.

Согласно теории Коши, сходимость ряда к пределу x означает, что когда вы суммируете все больше и больше членов этого ряда, итоговая сумма все больше приближается к значению x. Чтобы понять это, мы должны представлять, что значит «близость» двух чисел друг к другу. Оказывается, знакомое нам значение слова «близость» не единственное! В мире 2-адических чисел два числа считаются близкими друг к другу, если разность между ними представляет собой величину, кратную большой степени числа 2. Когда мы говорим, что ряд 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … сходится к значению −1, мы тем самым утверждаем, что частичные суммы 1, 3, 7, 15, 31… все больше приближаются к −1. В обычном понимании «близости» это не так, однако при использовании понятия 2-адической близости ситуация обстоит совсем иначе. Разность между числами 31 и −1 равна 32, что составляет достаточно малое 2-адическое число 25. Просуммируйте еще несколько членов этого ряда – и получите число 511, которое отличается от −1 на 512, еще меньшую величину (в 2-адическом смысле). Большая часть математики, которую вы знаете (анализ, логарифмы и экспоненциальные функции, геометрия), имеет аналог в мире 2-адических чисел (а также аналог в мире p-адических чисел для любого p). Взаимодействие между всеми этими концепциями близости являет собой отдельную историю – умопомрачительную и недосягаемо прекрасную.

Сюрреальные числа, которые описал Джон Конвей, – это особенно очаровательный и причудливый пример, о чем говорит само название. Этот класс чисел, глубинные аспекты которого еще не изучены, представляет собой удивительный гибрид чисел и стратегических игр. Полезную информацию об этих экзотических числах, а также многих математических методах ведения игр можно найти в труде Элвина Берлекэмпа, Джона Хортона Конвея и Ричарда Гая Winning Ways… («Выигрышные стратегии в математических играх»), см.: Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, Richard K. Guy. Winning Ways for Your Mathematical Plays. Natik MA: A K Peters/CRC Press. 2 ed. Vol. 1–4. 2001–2004.

Подобно всем математическим прорывам, теория пределов Коши имела предшественников; в частности, определение Коши было во многом созвучно с концепцией границ величины погрешности биномиального ряда Д’Аламбера. Однако нет никаких сомнений, что работа Коши представляла собой переломный момент: после него анализ стал таким, каким мы его знаем сейчас.

Г. Г. Харди. Расходящиеся ряды / Пер. с англ. Д. А. Райкова. М.: Изд-во иностранной литературы, 1951. С. 19. Прим. ред.

Есть какая-то ирония в том, что первоначально Гранди нашел своим расходящимся рядам теологическое применение!

Здесь уместно вспомнить известную фразу Кейди, героини Линдси Лохан: «Предела не существует!» [из фильма Mean Girls, 2004 («Дрянные девчонки»). Прим. М. Г.].

Если вы когда-либо изучали математический курс, в котором используются такие символы, как эпсилон и дельта, значит, вы знакомы с преемниками формальных определений Коши.

См. у Литтлвуда: «(А. С. Безикович) Репутация математика основывается на числе плохих доказательств, которые он придумал». И далее следует пояснение автора: «Работы первооткрывателей неуклюжи» (Дж. Литлвуд. Математическая смесь. М.: Наука, 1990. С. 42). Прим. М. Г.

Аркадные игры (arcade games) – компьютерные игры с нарочно примитивным игровым процессом. Прим. ред.

Более подробную информацию об этих исследованиях можно найти в статье, опубликованной в Journal of Stuff I Totally Made Up in Order to Illustrate My Point («Журнал, придуманный мною для освещения собственной точки зрения»).

В данном контексте «максимальная приближенность» определяется следующим образом. Если вы замените фактическую плату за обучение в каждом университете оценкой, которую подразумевает прямая, а затем вычислите разность между расчетной и фактической платой за обучение, после чего возведете каждое из этих чисел в квадрат и сложите все эти квадраты, то получите общий показатель того, насколько прямая не проходит по точкам. Надо выбрать прямую, у которой этот показатель минимален. Такое суммирование квадратов напоминает о Пифагоре; в действительности геометрия, лежащая в основе линейной регрессии, – не что иное, как теорема Пифагора, преобразованная и доработанная для решения задач с гораздо большей размерностью. Однако эта история требует больше алгебраических выкладок, чем я хотел бы здесь приводить. Более подробное описание соответствующих аспектов корреляции и тригонометрии можно найти в главе 15.

Марк Твен. Жизнь на Миссисипи / Пер. Р. Райт-Ковалевой // Марк Твен. Собрание сочинений в 12 томах. М.: Художественная литература, 1960. Т. 4. С. 351–352. Прим. ред.

Эти требования вызывают в памяти сюжет рассказа Орсона Скотта Карда Unaccompanied Sonata («Соната без сопровождения»). В нем идет речь о сверходаренном музыканте, которого держат в одиночестве, в строгой изоляции от всей существующей в мире музыки, с тем чтобы это не лишило оригинальности его собственную музыку. Но затем один человек пробирается к нему и дает запись с музыкой Баха. Разумеется, блюстители порядка узнают об этом и навсегда запрещают необыкновенному музыканту заниматься музыкой. Кажется, в дальнейшем ему отрежут пальцы, или лишат зрения, или сделают что-то еще, поскольку Орсон Скотт Кард имеет странную склонность к жестокому наказанию своих персонажей и расчленению их живой плоти. Как бы там ни было, смысл всей этой истории сводится к следующему: Бах слишком велик, чтобы пытаться удерживать молодых музыкантов от приобщения к его музыке. [См.: О. С. Кард. Соната без сопровождения / Пер. В. Постникова // О. С. Кард. Карты в зеркале. М.; СПб.: ЭКСМО; Домино, 2005. С. 417–439. Прим. ред.]

Строка из поэмы Paterson («Патерсон») Уильяма Карлоса Уильямса. Прим. М. Г.

Планиметрия – раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости. Прим. ред.

Масса тела в килограммах, поделенная на квадрат роста в метрах. Прим. М. Г.

В научной литературе термин «избыточный вес» используется в случаях, когда «ИМТ составляет минимум 25, но менее 30», а термин «ожирение» – когда «ИМТ составляет 30 и более». Однако я предпочту обозначать обе категории одним термином «избыточный вес», чтобы не повторять множество раз фразу: «избыточный вес или ожирение».

А примерно к 2120 году – 146 %. Прим. М. Г.

На мадридском вокзале Аточа 11 марта 2004 года в результате серии взрывов, произведенных исламистской ячейкой, погибли 191 человек и около 2000 людей были ранены. Прим. М. Г.

Я не собираюсь приводить здесь соответствующие расчеты, но, если вы захотите проверить мой результат, ключевым термином в данном случае будет «биномиальное распределение».

Рашмор – гора в Южной Дакоте, в которой высечены портреты президентов США Джорджа Вашингтона, Томаса Джефферсона, Теодора Рузвельта и Авраама Линкольна. Wall Drug – знаменитый торговый центр, туристическая достопримечательность города Уолл в Южной Дакоте. Прим. М. Г.

НБА, Национальная баскетбольная ассоциация (National Basketball Association, NBA) – мужская профессиональная баскетбольная лига Северной Америки. Прим. М. Г.

Knicks – баскетбольный клуб New York Knickerbockers («Нью-Йорк Никербокерс»), более известный как New York Knicks («Нью-Йорк Никс») или просто «Никс». Прим. М. Г.

И да, когда вы бросаете мяч в корзину, процент попаданий не в меньшей степени зависит от ваших врожденных данных. Крупный игрок, делающий броски в корзину из-под кольца или сверху в прыжке, с самого начала имеет серьезное преимущество. Но это не имеет прямого отношения к той идее, которую мы здесь рассматриваем.

Специалисты наверняка обратят внимание, что я всячески избегаю понятия «стандартное отклонение». Неспециалисты, желающие глубже изучить данный вопрос, могут поискать этот термин в справочнике.

Точнее говоря, немного меньше, где-то 95,37 %, поскольку квадратный корень из 1000 не в точности равен 31 – он чуть меньше.

Лакшми – в пантеоне индуизма богиня благословения, изобилия, процветания, богатства, удачи и счастья; старшая супруга бога Вишну. Прим. ред.

Возможно, даже чуть больше, поскольку три сына подряд могут указывать на наличие у вас соответствующей генетической предрасположенности; ср. обсуждение далее. Прим. М. Г.

На самом деле точнее так: 51,5 % мальчиков и 48,5 % девочек – но кому придет в голову подсчитывать?

Массовое убийство в Руанде представителей народности тутси по приказу правительства хуту в 1994 году. Прим. М. Г.

Всемирный торговый центр (World Trade Center, WTC) в Нью-Йорке был разрушен 11 сентября 2001 года в результате террористической атаки, произведенной «Аль-Каидой». По официальным данным, погибло 2752 человека. Прим. М. Г.

Вспомним старый студенческий анекдот: «На лекцию собралось трое студентов, вдруг пятеро встают и уходят. Профессор бурчит себе под нос: “Ну вот, еще двое придут, и совсем никого не останется”». Прим. М.Г.

Ficta – мн. ч. лат. слова fictus «ложный, выдуманный». Прим. ред.

Предостережение: никогда не делите на ноль, если рядом нет дипломированного математика.

На мой взгляд самый симпатичный битл – именно он [Джордж Харрисон. – Ред.].

Немного математического буквоедства: для утверждения, что то или иное явление становится «все более ужасающим», необходимо не просто засвидетельствовать, будто оно ужасающее, но еще и показать, что это качество усиливается. В статье Рэттнера данное условие не соблюдается.

Маймонид. Мишне Тора / Пер. Шошаны Бродской. Книга первая, или Книга Знаний. Законы об идолопоклонстве и нееврейских обычаях, глава первая. М.: Лехаим, Книжники, 2010. Прим. ред.

В оригинале – MTSOSLO. Прим. М. Г.

На самом деле, процедура была немного сложнее, с настраиваемыми параметрами, но это не влияет на дальнейшее изложение (хотя и может быть одной из причин полученного в статье неожиданного результата, наряду с проблемами, обсуждаемыми через несколько страниц). Прим. М. Г.

Это лишь малая часть возможных перестановок тридцати двух дат, общее количество которых составляет 263 130 836 933 693 530 167 218 012 160 000 000.

См.: М. Дроснин. Библейский код. Обратный отсчет. М.: Иностранка, 2004. Прим. перев.

Премьер-министр Израиля Ицхак Рабин был убит 4 ноября 1995 года правым еврейским активистом «за подписание в 1993 году соглашений в Осло с Ясиром Арафатом». За эти соглашения Рабин, Шимон Перес и Ясир Арафат стали лауреатами Нобелевской премии мира. Прим. М. Г.

Ток-шоу, которая вела Опра Гэйл Уинфри в 1986–2001 годах. Прим. М. Г.

Кажется, миновало – ведь конец света планировался на 2006 год.

Ср.: «…Можно придать буквам цифровые обозначения. Все это образует тайнопись, может быть расшифровано, и результаты исполнены значения, потому что были предвидены бесконечным божественным разумом… Modus operandi каббалистов основан на логической предпосылке, на мысли, что Писание – текст совершенный и не может содержать ничего случайного» (Х. Л. Борхес. Каббала / Пер. В. Кулагиной-Ярцевой // Х. Л. Борхес. Семь вечеров. Собрание сочинений в четырех томах. СПб.: Амфора, 2005. Т. 4. С. 109). Прим. М. Г.

В основе этих расчетов лежит полезный принцип, называемый «правило умножения вероятностей». Если вероятность одного события равна p, а вероятность другого события равна q и если они независимы друг от друга (другими словами, наступление первого события не делает второе событие ни более, ни менее вероятным), тогда вероятность одновременного наступления обоих событий равна p × q.

Эта история появилась еще в те времена, когда такой процесс потребовал бы создания десяти тысяч физических документов, но сейчас она выглядит даже более реалистично, поскольку массовая рассылка может быть выполнена в электронном виде практически при нулевых затратах.

Ср. фразу в объявлениях репетиторов, намекающих на свою близость к приемным комиссиям: «Платят только поступившие». На самом деле, репетитор не делает ничего, просто кто-то из его учеников хорошо сдает экзамен и поступает самостоятельно. Прим. М. Г.

Индексный фонд (index fund) – вид коллективных инвестиций, акционерный или паевой инвестиционный фонд, стратегия которого построена на повторении рыночных изменений заранее определенного индекса. Для этого управляющая компания включает в портфель именно те финансовые инструменты, какие берутся при расчете выбранного индикатора, и в том же количестве. Прим. М. Г.

Скребл (Scrabble), или «Эрудит», «Словодел», «Крестословица», – настольная игра, в которой игроки по очереди выставляют на доску слова из имеющихся у них фишек с буквами, получая очки в зависимости от ценности составляющих его букв. Редкие буквы (например, англ. z, y или русск. ы, щ) имеют большую ценность. На доске есть выделенные поля, и, если слово проходит через них, количество очков умножается на 2 или 3. Прим. М. Г.

Но не говорят всей правды: вы не знаете, сколько разных писем было разослано, и вы не знаете, сколько фондов никогда не стали публичными. Прим. М.Г.

Аристотель. Риторика, кн. II, гл. 24, стр. 10 / Пер. Н. Платоновой // Античные риторики. М.: Изд-во Московского университета, 1978. С. 122. Аристотель ссылается на фразу из не дошедшей до нас трагедии афинского драматурга Агафона (ок. 448 – ок. 405 до нашей эры); курсив в цитате принадлежит Д. Э. Прим. ред.

Приблизительно 46 сантиметров в длину и 8,5 килограмма весом. Прим. ред.

Воксел, разг. воксель (voxel) – элемент объемного изображения; воксельные трехмерные модели часто используют для визуализации и анализа медицинской и научной информации. Прим. ред.

Дословный перевод ника saygoodbye2corn – «попрощайся с кукурузой». Прим. М. Г.

Уже много лет ведутся абсолютно бессмысленные дискуссии по поводу ноля: стоит ли относить его к категории натуральных чисел. Если вы принадлежите к убежденным противникам ноля как числа натурального, разрешаю вам без колебаний считать, что здесь я его не указывал.

Вы можете не согласиться с утверждением, что методы Фишера относятся к области статистики, а не математики. Оба моих родителя занимаются статистикой, поэтому мне известно о существовании границы между этими двумя дисциплинами. Однако для своих целей мне довольно рассматривать статистическое мышление как разновидность математического, а также приводить убедительные доводы в пользу каждого из них.

Арбетнот рассматривал сам факт избыточного количества мальчиков в качестве аргумента в пользу промысла Божьего: кто-то или скорее Некто должен был бы заботиться, чтобы рождалось больше мальчиков – в качестве возмещения потерь от гибели взрослых мужчин в войнах и катастрофах.

Мы проанализируем этот аргумент более подробно в главе 9.

Пер. К. А. Тимирязева при участии М. А. Мензбира, А. П. Павлова и А. И. Петровского, 1896 год (по 6-му англ. изд.); Ч. Дарвин. Происхождение видов путем естественного отбора. М.: Просвещение, 1987. С. 355. Прим. ред.

Американский толковый словарь английского языка; аналог словаря Брокгауза – Ефрона. Прим. М. Г.

Побочным результатом становятся такие перлы математического фольклора, как теорема «не ищи в полях идеалов». Кольцо – множество, на котором определены две операции: сложение (коммутативно, ассоциативно, с нолем и обратным элементом) и умножение (ассоциативно); сложение и умножение дистрибутивны. Кольцо называется полем, если умножение коммутативно, ассоциативно, с единицей и обратным элементом. Идеалом называется подкольцо, замкнутое относительно умножения на элементы из кольца. Теорема состоит в том, что у поля не может быть нетривиальных идеалов. Прим. М. Г.

OPEC (The Organization of the Petroleum Exporting Countries) – Организация стран – эскспортеров нефти. Abba – шведский эстрадный вокальный квартет 1970-х, назван по первым буквам имен исполнителей: Агнета Фельтског, Бьорн Ульвеус, Бенни Андерссон, Анни-Фрид Лингстад. Прим. М. Г.

На самом деле, математическое определение «группа» содержит и другие компоненты – но, к сожалению, и эту замечательную историю придется оставить недорассказанной.

Устоявшийся перевод двух последних терминов kernel и stalk (англ.). Прим. М. Г.

Оригинальная фраза blow up the plane означает как «раздуть плоскость», так и «взорвать самолет». Прим. М. Г.

В исследовании не рассматривается любопытный вопрос: каков уровень смертности среди детей, находящихся под присмотром родителей.

Безусловно, в разных языках используются разные термины. Китайские статистики обозначают статистическую значимость словом xianzhu, смысл которого ближе к слову «примечательный», но мои китайскоязычные друзья утверждают, что у этого слова есть и оттенок значения «важность», как у английского significance. В русском языке используется термин «значимость», хотя английское слово significant чаще переводится на русский как «значительный».

В оригинале: You’ll never get out, you’ll never get out, you’ll never get out. Прим. М. Г.

Говорят, Дэвид Бирн написал слова к песне Burning Down the House («Сжигая дом») таким же способом: он произносил бессмысленные слоги в одном ритме с инструментальным сопровождением, а затем написал слова, которые напоминала ему эта бессмыслица.

Аллитерация – повторение в стихотворении одинаковых или однородных согласных, придающее ему особую звуковую выразительность; частотность этих звуков на определенном отрезке текста должна быть больше среднеязыковых показателей. Прим. ред.

У. Шекспир. Буря, акт I, сцена 2; фраза из песни Ариэля дана в переводе Т. Л. Щепкиной-Куперник. Прим. М. Г.

Crambe – капуста (лат.). Прим. ред.

NCAA (National Collegiate Athletic Association) – Национальная ассоциация студенческого спорта; в частности, проводит чемпионат, в котором участвует большинство университетских команд по баскетболу. Прим. М. Г.

«Мичиган Вулверинс» (Michigan Wolverines, букв. «Мичиганские росомахи»); «Луисвилл Кардиналс» (Louisville Cardinals, букв. «Луисвилльские кардиналы»). Прим. М. Г.

«Филадельфия Севенти Сиксерс» (Philadelphia 76ers) – американский профессиональный баскетбольный клуб; название «76ers» связано с 1776 годом, когда в Филадельфии была подписана Декларация независимости США. Прим. ред.

Слэм-данк (slam dunk) – вид броска в баскетболе, при котором игрок выпрыгивает вверх и одной или двумя руками бросает мяч сквозь кольцо сверху вниз. Прим. ред.

«Индиана Пэйсерс» (Indiana Pacers, букв. «лидер Индианы») – профессиональный баскетбольный клуб. Прим. ред.

«Кливленд Кавальерс» (Cleveland Cavaliers, букв. «всадники Кливленда») – профессиональный баскетбольный клуб. Прим. ред.

Некоторые настаивают на том, что умозаключение можно считать доказательством от противного (reduction ad absurdum), если следствие гипотезы содержит внутреннее противоречие, а если это просто ошибочное следствие, тогда это умозаключение является рассуждением от противного (modus tollens).

В качестве хорошего эмпирического приема вы можете рассуждать так: каждый из пятидесяти испытуемых обеспечивает вероятность обнаружения альбиноса в данной выборке 1/20 000, что дает 1/400. Это не совсем точный метод, но он позволяет получить довольно близкое значение в случаях, когда, как здесь, результат очень близок к нулю.

На самом деле в риторике действует общий принцип: когда говорят, что «X – это по существу Y», как правило, имеется в виду, что «X – это не Y, но мне было бы проще, если X считался бы Y, так что было бы здорово просто двигаться дальше и сделать вид, что X – это Y».

Должен признать: я читал сценарии эпизодов Numb3rs [в российском прокате сериал шел под названием «4исла». – Ред.] еще до их выхода, чтобы проверить точность математических терминов и выкладок и сделать свои замечания. Из всего мною предложенного в эфире прозвучала лишь одна фраза: «…Пытаясь найти проекцию аффинного трехмерного пространства на сферу при условии некоторых открытых ограничений».

За этим объяснением скрывается глубокая правда, что 1 при умножении играет во многом ту же роль, что 0 при сложении: х + 0 = 0 + х = х и х × 1 = 1 × х = х. Более того, группа вещественных чисел по сложению изоморфна группе положительных чисел по умножению, а логарифм (см. ниже) – это и есть указанный изоморфизм: log (x × y) = log x + log y. Теперь понятно, что log 1 = 0. Прим. М. Г.

Среди первых N чисел примерно log2 N чисел будут степенями 2. Прим. М. Г.

Дойдя до конца раздела, я могу наконец спокойно раскрыть истинное определение log N. Это такое число x, что ex = N. Здесь e – число Эйлера, равное примерно 2,71828… Я говорю «e», а не «10», поскольку речь идет о натуральном логарифме, а не десятичном логарифме или логарифме по основанию 10. Натуральный логарифм – это именно тот логарифм, который вы всегда будете использовать, если вы математик или если у вас e пальцев на обеих руках. [В российской традиции логарифм по основанию е обозначается «ln», а логарифм по основанию 10 – «lg». Прим. М. Г.]

После того как в мае 2014 года была получена оценка 246, проект решили остановить, поскольку, по признанию авторов, дальнейшее улучшение потребовало бы огромного объема вычислений. См.: D. H. J. Polymath. The «bounded gaps between primes» Polymath project – a retrospective (http://arxiv.org/abs/1409.8361); D. H. J. Polymath (букв. «человек энциклопедических знаний; эрудит») – коллективный псевдоним авторов. Прим. М. Г.

В оригинале опечатка, было n + 1, что приводит к тривиальному соображению: n и n + 1 не могут одновременно быть простыми, если только это не 2 и 3. Прим. М.Г.

Ферма написал на полях одной из книг примечание, в котором утверждалось, что он знает доказательство, но оно слишком длинное и на полях не уместится. В это до сих пор никто не верит.

Это условие может показаться немного надуманным, однако на самом деле существует довольно простой способ найти множество неинтересных решений, если допустить наличие общих делителей у чисел A, B и C.

Прежде всего это полученные Пьером Делинем результаты, связывающие средние значения теоретико-числовых функций с геометрией многомерных пространств.

Следуя по пути, который проложили Голдстон, Пинц и Йылдырым – последние из математиков, добившихся успеха в работе с простыми числами.

Гаруспиция (от этрусск. harus «кишки, внутренности» и лат. specio «наблюдаю») – предсказание будущего по внутренностям жертвенных животных. Прим. ред.

Полиморфизмы – различия между геномами; могут находиться между генами или в различных местах одного гена. Прим. М. Г.

Я был разочарован тем, что это исследование до сих пор не привело к массовому появлению видео в духе теории заговора с утверждениями, что предложение Обамы о бесплатном предоставлении противозачаточных средств всем женщинам нацелено на подавление биологической склонности женщин голосовать за «великую старую партию» (Great Old Party, республиканская партия США. – Прим. М.Г.) в период овуляции. Беритесь за дело, создатели видео о теориях заговора!

Пожалуй, Шабри больше всего известен своим невероятно популярным экспериментом с гориллой, видео которого размещено на YouTube; на нем демонстрируется когнитивный принцип выборочного внимания: зрителям предлагают понаблюдать за тем, как несколько студентов бросают друг другу баскетбольный мяч; как правило, зрители не обращают внимания на актера, одетого в костюм гориллы, который то появляется в кадре, то исчезает из него.

IQ (intelligence quotient) – коэффициент интеллектуальности. Прим. М. Г.

Используют также термин «массаж данных». Прим. М. Г.

Все примеры взяты из огромной коллекции, собранной в блоге специалиста по психологии здоровья Мэтью Хэнкинса, знатока статистически незначимых результатов.

Все числа в этом примере выдуманы, поскольку реальный процесс вычисления доверительных интервалов настолько сложен, что я вряд ли смог бы изложить его из-за ограниченного пространства книги.

Несколько слов об упрощении: Фишер, Нейман и Пирсон жили и создавали свои работы на протяжении длительного времени, и за многие десятилетия их концепции и позиции менялись. В представленном здесь общем описании философских расхождений во взглядах трех ученых не приняты во внимание многие аспекты мышления каждого из них. В частности, точка зрения, что основная задача статистики – это принятие решений, в большей степени присуща Нейману, а не Пирсону.

Здесь используется метод, который – на случай, если вы хотите глубже изучить эту тему, – называется «логистическая регрессия» [а также многие другие методы, скажем, нейронные сети. Прим. М. Г.].

В данном контексте путаница между первым и вторым вопросами обычно обозначается как «заблуждение обвинителя». Лейла Шнепс и Корали Кольмез подробно рассматривают реальные судебные дела такого рода, см.: L. Schneps, C. Colmez. Math on Trial: How Numbers Get Used and Abused in the Courtroom. New York: Basic Books, 2013 («Математика перед судом. Как в зале суда манипулируют и злоупотребляют числами»).

Э. Синклер. Джунгли / Пер. Д. Горфинкеля, Э. Линецкой. М.: Художественная литература, 1956.

Михаил Моисеевич Бонгард написал в 1960-е программу «Гадалка», которая, анализируя последовательность предыдущих ответов, предсказывала, назовет ли испытуемый «0» или «1». Бонгард указывал на необходимость учета неслучайности последовательностей, порождаемых человеком, при анализе результатов экспериментов по телепатии (см.: М. Бонгард, М. Смирнов. Телепатический эксперимент: необходимые требования // Наука и жизнь. 1967. № 12. С. 62–70). Прим. М. Г.

Одна из формализаций интуитивного представления о неслучайности последовательностей, обладающих внутренней структурой, принадлежит А. Н. Колмогорову, см.: Н. К. Верещагин, В. А. Успенский, А. Х. Шень. Колмогоровская сложность и алгоритмическая случайность. М.: МЦНМО, 2013. Про другие попытки см.: В. А. Успенский, А. Л. Сеенов, А. Х. Шень. Может ли (индивидуальная) последовальность нулей и единиц быть случайной? // Успехи математических наук. 1990. Т. 45. Вып. 1 (271). С. 106–162. Прим. М. Г.

Ситуацию осложняют следующие факторы: Бебер и Скаццо обнаружили, что числа, заканчивающиеся на нуль, встречаются немного реже, чем можно было ожидать, при случайном распределении, но далеко не так редко, как если цифры выбирают люди. Более того, в еще одном множестве данных о якобы сфальсифицированных результатах выборов в Нигерии было очень много чисел с нулем в конце. Как и в большинстве других видов детективной работы, это далеко от точной науки.

[В современных российских выборах процент проголосовавших на участке бывает целым и оканчивается на 0 и 5 чаще, чем можно было бы ожидать, будь эти числа случайными, см.: D. Kobak, S. Shpilkin, M. S. Pshenichnikov. Integer percentages as electoral falsification fingerprints. The Annals of Applied Statistics. 2016. Vol. 10. № 1. Рр. 54–73. Прим. М. Г.]

По правде сказать, в случае традиционного колеса рулетки, где цвета ячеек строго чередуются, – это не слишком убедительная теория. Но в случае колеса рулетки, которое вы не видите, можно предположить, что красных ячеек больше, чем черных. [Или в случае, если колесо кривое. Эту альтернативу и ее практическое применение описал Джек Лондон в романе «Смок Беллью» (см. четвертую часть «Малыш видит сны»). Прим. М. Г.]

Безусловно, если мы делали бы это по-настоящему, нам пришлось бы проанализировать больше трех теорий. Необходимо было бы включить также теорию о колесе рулетки, сделанном таким образом, чтобы шарик выпадал на красное в 55, или 65, или 100, или 93,756 % случаев и так далее. Существует бесконечно много возможных теорий, а не только три, поэтому, когда ученые выполняют байесовские вычисления в реальной жизни, им необходимо учитывать бесконечно большие и бесконечно малые величины, рассчитывать интегралы вместо простых сумм, и так далее. Однако это сугубо технические сложности, а сам процесс по большому счету не более сложен, чем тот, который описан здесь.

Машина Руба Голдберга, или машина Голдберга (Rube Goldberg Machine), – чрезмерно сложное устройство, предназначенное для выполнения очень простых действий. Название дано по имени ее создателя – карикатуриста и изобретателя Рубена Голдберга, сделавшего изображения таких машин настоящими персонажами своих карикатур. Существует традиция проводить регулярные конкурсы среди студентов и старшеклассников по постройке машин Голдберга. Прим. М. Г.

Р. Фейнман. Дюжина лекций: Шесть попроще и шесть посложнее. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2006. С. 23–24. Прим. М. Г.

Точнее говоря, они уничтожают теорию Т плюс отсутствие теории U.

Нет, серьезно, это действительно было модно. [В российском прокате фильм шел под названием «Кот». Прим. ред.]

Цит. по: Р. Суинберн. Есть ли Бог? / Пер. Ю. Кимелева. М.: Библейско-богословский институт, 2006. С. 56. Прим. перев.

Аналогичный подход обсуждается в известном анекдоте о блондинке и динозавре. Прим. М. Г.

Уильям Пейли наверняка вполне осознавал эту проблему – обратите внимание, как осмотрительно он упоминает о «мастере или мастерах».

Речь идет о тех, кто, разумеется, сам может быть моделью, созданной людьми еще более высокого порядка!

Б. Паскаль. Мысли / Пер. с фр., вступ. статья, коммент. Ю. А. Гинзбург. М.: Изд-во имени Сабашниковых, 1995. С. 186. Прим. ред.

А. Смит. Исследование о природе и причинах богатства народов. М.: Соцэкгиз, 1962. С. 94. Прим. ред.

То есть, математическое ожидание выигрыша. Прим. М.Г.

Аналогично, по-русски говорят и о «математическом ожидании», и о «среднем значении» случайной величины. Прим. М.Г.

Более глубокий анализ справедливой цены должен учитывать мое восприятие риска; в следующей главе мы вернемся к этому вопросу.

Место королевского астронома существует до сих пор! Но сейчас это скорее почетный титул, поскольку заработная плата в размере одной сотни фунтов стерлингов осталась неизменной с того момента, как в 1675 году Карл II учредил эту должность.

В других государствах, даже Римской империи III века, понимали, что надлежащая цена аннуитета должна быть выше для его более молодых покупателей.

У автора Eet ees obvious вместо литературного It is obvious. Прим. М. Г.

Эта история ходит во множестве вариантов. Вот один из них, рассказанный Рэймондом Смаллианом:

В бытность мою аспирантом в Принстонском университете я вместе с товарищами составил довольно любопытный перечень толкований слова «очевидно» различными профессорами математического факультета. Не стану сейчас приводить полностью фамилии профессоров, ограничусь лишь первыми буквами.

Когда профессор A. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это означает, что, отправившись домой и поразмыслив в течение нескольких недель, вы поймете, почему оно правильно.

Когда профессор Л. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это означает, что, отправившись домой и посвятив размышлениям над смыслом сказанного весь остаток своих дней, вы, может быть, когда-нибудь поймете, почему оно правильно.

Когда профессор Ч. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это означает, что уже две недели, как оно известно аудитории.

Когда профессор Ф. называет какое-нибудь утверждение очевидным, то это означает, что оно скорее всего неверно.

Рэймонд М. Смаллиан. Как же называется эта книга? /

Пер. с англ. и предисл. Ю. А. Данилова. М.: Мир, 1981. § 225. С. 190.

И еще один – называется «Очевидное – невероятное»:

Практические занятия по дифференциальной геометрии в одной из групп на нашем курсе вел тогда еще совсем молодой доктор наук А. Фоменко, ныне академик, известный, помимо прочего, радикальной критикой традиционной хронологии… в истории. В этой группе училась одна моя знакомая, назовем ее М. Весь семестр она прогуливала семинары, ничего не знала и на экзамене как раз попалась к Фоменко.

Решив проучить прогульщицу и сразу разделаться с ней, он попросил ее доказать какой-то нетривиальный факт. М. было нечего терять, она даже не очень поняла суть вопроса и от отчаяния брякнула:

– Это очевидно.

Экзаменатор был потрясен – студентке кажется очевидным утверждение, для него совсем нетривиальное (мысль о том, что она блефует, ему не пришла в голову). В сильном волнении он убежал в дальний конец аудитории, где, напрягая недюжинный интеллект, принялся искать более простое решение. Минут через десять, совершенно взъерошенный, он вернулся к обреченно ожидающей своей участи М.

– Вы знаете, – радостно сияя, сообщил он ей, – это и в самом деле очевидно!

И тут же поставил ошеломленной студентке «отлично».

С. Н. Федин. Математики тоже шутят. М.: Либроком, 2009. С. 39–40.

Прим. М. Г.

Или, сдается мне, около этого. Я не смог получить официальные данные о продажах лотерейных билетов, но оценить количество игроков можно довольно точно по публикуемым Powerball данным о количестве людей, выигравших самые маленькие призы.

Читатели, которые хотят еще глубже изучить методы принятия решений и теоретические детали проведения лотереи, могут найти полезную информацию в замечательной статье Аарона Абрамса и Скипа Гарибальди: A. Abrams, S. Garibaldi. Finding Good Bets in the Lottery, and Why You Shouldn’t Take Them // The American Mathematical Monthly. 2010. Vol. 117 / № 1/ January. Рр. 3–26 («Как найти хорошее пари в лотерее, и почему не стоит его заключать»). Название уже содержит то умозаключение, к которому пришли авторы статьи.

Так случилось, что в тот день пять номеров угадали всего семь игроков, и эти счастливчики разделили между собой приз, равный 80 тысячам долларов. Однако немногочисленность победителей, по всей видимости, оказалась просто невезением, а не событием, которое можно было предвидеть, заранее рассчитав ожидаемую ценность лотерейного билета.

Если принять во внимание относительную известность лотереи Cash WinFall, подобный результат действительно несколько удивляет: в случае каждого перераспределения суммы кто-то мог выиграть джекпот с вероятностью 10 %, а значит, это должно было произойти четыре или пять раз. Насколько я могу судить, то, что это случилось всего один раз, было просто неудачей – или, если хотите, удачей для тех игроков, которые рассчитывали на получение призов в других призовых категориях.

Если не брать в расчет призовые деньги, полученные не за счет перераспределения призового фонда. Однако, как мы уже видели, это не такие уж большие суммы.

Если по-прежнему не брать в расчет деньги, полученные не за счет фонда джекпота.

Ж. Бюффон. Всеобщая и частная естественная история. История и теория Земли / Пер. С. Румовского, И. Лепёхина. М.: Либроком, 2012. Прим. М. Г.

Переписка была посвящена правилу Крамера – это специально для читателей, которые увлекаются линейной алгеброй.

На самом деле мне не совсем понятно, действительно ли он был «Бюффоном» в момент представления этой работы в Академию наук. Его отец, который в свое время купил титул графа де Бюффона, плохо вел дела и был вынужден продать поместье, но тем не менее женился второй раз на двадцатичетырехлетней женщине. Жорж Луи предъявил иск и, по всей вероятности, смог переписать на себя состояние бездетного дядюшки своей матери, что позволило ему выкупить и землю и титул.

Вы вольны возразить: если длина иглы в точности равна ширине планки, то игла может касаться двух краев планки. Однако для этого требуется, чтобы игла упала ровно поперек планки. Теоретически, конечно, возможно, но вероятность, что произойдет именно так, равна нулю, и мы можем спокойно не принимать ее в расчет.

Александр Гротендик умер 13 ноября 2014 года в возрасте 86 лет. Прим. М. Г.

С. Туроу. Презумпция невиновности. М.: АСТ; АСТ Москва; ВКТ, 2008. Прим. М. Г.

М. Хэддон. Загадочное ночное убийство собаки. М.: Росмэн-Пресс, 2005. Прим. М. Г.

Лас-Вегас-Стрип – участок бульвара Лас-Вегас в пригороде Лас-Вегаса; на Стрип находится большинство крупнейших казино и гостиниц. Прим. М. Г.

Utils – «ютили; единицы полезности». Более точно было бы транслитерировать как «утили», но так возникла бы путаница с уже существующим русским словом, означающим совсем другое. Прим. М. Г.

Б. Паскаль. Мысли / Пер. с фр., вступ. статья, коммент. Ю. А. Гинзбург. М.: Изд-во имени Сабашниковых, 1995. С. 327–328. Прим. ред.

Пер. Ю. А. Гинзбург; см.: Б. Паскаль. Мысли. С. 431. Прим. ред.

Пер. Ю. А. Гинзбург; см.: Б. Паскаль. Мысли. С. 198. Прим. ред.

Пер. Ю. А. Гинзбург; см.: Б. Паскаль. Мысли. С. 174. Прим. ред.

См.: Б. Паскаль. Мысли. С. 185–188. Прим. ред.

Хотя я слышал, будто по крайней мере один экономист утверждает, что поскольку определенное количество будущего счастья стоит меньше, чем то же количество счастья сейчас, ценность вечной радости в лоне Авраамовом на самом деле конечна.

См.: Вольтер. Философские письма. Письмо двадцать пятое. «Замечания на “Мысли” г-на Паскаля» // Вольтер. Философские сочинения / Пер. с фр. С. Я. Шейнман-Топштейн. М.: Наука, 1988. С. 190–226. Прим. ред.

Вольтер. Философские письма. Письмо двадцать пятое. С. 194. Прим. ред.

Д. Бернулли. Опыт новой теории измерения жребия / Пер. с нем. А. Нардовой // Вехи экономической мысли. Т. 1. Теория потребительского поведения и спроса. СПб.: Экономическая школа, 1999. С. 11–27. Прим. ред.

Пер. А. Нардовой, см.: Д. Бернулли. Опыт новой теории измерения жребия. § 17. С. 22. Прим. ред.

Следует помнить вот о чем: в главе 2 мы говорили, что расходящиеся ряды – не только ряды, которые стремятся к бесконечности; к их числу относятся также ряды, упорядоченные иначе, как, например, ряд Гранди 1 − 1 + 1 − 1 +…

Помимо следующих далее рассуждений, необходимо учитывать еще и невозможность строго исполнять контракт. Если у Петра закончатся деньги, он откажется (не сможет) платить. Павел может выиграть сколько угодно дукатов, но не сможет получить свой выигрыш. Прим. М. Г.

Предостережение: использование таких интуитивных аргументов применительно к бесконечным суммам сопряжено с большой опасностью. Это приемлемо для данного примера, но было бы совершенно неправильно в случае более сложных сумм, особенно тех, которые содержат положительные и отрицательные члены.

Хотя, как отметил в 1934 году Карл Менгер (научный руководитель Абрахама Вальда), существуют различные варианты санкт-петербургской игры, причем настолько щедрые, что даже логарифмические игроки Бернулли согласились бы заплатить сколько угодно дукатов за возможность принять в ней участие. Что если k-й приз составляет 22k дуката?

В связи с этим большинство людей сказали бы, что кривой полезности в буквальном смысле не существует, а значит, ее следует воспринимать как общий ориентир, а не как реальную линию определенной формы, которую мы еще точно не измерили.

См. документальный фильм Мартина Скорсезе «Беседы с Фран Лебовиц» (Public Speaking, 2010).

В книге Social Studies («Социальные исследования») Фран Лебовиц писала: «Твердо стойте на своем нежелании вникать в формулы алгебры. В реальной жизни, уверяю вас, никакой алгебры нет». Я утверждаю, что эти слова свидетельствуют о присутствии математики в жизни Лебовиц, как бы она к ней ни относилась!

Первое изд. на англ. яз. см.: P. S. Laplace. A Philosophical Essay on Probabilities / Trans. F. W. Truscott, F. L. Emory. New York: John Wiley & Sons; London: Chapman & Hall, 1902. Издана на русском языке: П. С. Лаплас. Опыт философии теории вероятностей. М.: Либроком, 2011. Прим. М. Г.

Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970. Прим. М. Г.

Тот самый Оскар Моргенштерн, который помог Абрахаму Вальду выбраться из области чистой математики, а со временем и из оккупированной Австрии.

RAND Corporation (аббревиатура от Research and Development – «исследования и разработки») – американский исследовательский стратегический центр; некоммерческая организация, которая осуществляет по заказам правительства исследования в интересах национальной безопасности и общественного благополучия, проводит разработки новых методов анализа стратегических проблем и новых стратегических концепций. Прим. М. Г.

Никакой урны я никогда не видел, но в теории вероятностей существует в некотором роде железное правило: если есть шары разных цветов, значит, должна быть и урна, в которой они находятся.

Некоторые аналитики, такие как Нассим Николя Талеб, утверждают – и, на мой взгляд, вполне обоснованно, – что было бы неисправимой ошибкой вообще присваивать столь редким событиям числовое значение вероятности.

Р. Ловенстайн. Когда гений терпит поражение. Взлет и падение компании Long-Term Capital Management, или Как один небольшой банк создал дыру в триллион долларов. М.: Олимп-Бизнес, 2006. Прим. ред.

Безусловно, есть все основания полагать, что отдельные представители банков знали о довольно большой вероятности инвестиционных провалов, но лгали об этом. Однако дело вот в чем: даже когда банкиры ведут себя честно, материальные стимулы подталкивают их к совершению рискованных действий, возможно, даже в ущерб инвесторам.

Б. Малкиел. Случайная прогулка по Уолл-стрит. Минск: Попурри, 2006. Прим. М. Г.

Если учитывать 29 февраля, то 366 дней. Но здесь подобная степень точности не требуется, мы к ней и не стремимся.

Первым человеком в паре может быть любой из тридцати гостей, вторым – любой из оставшихся двадцати девяти, что дает 30 × 29 вариантов. Однако здесь одна пара засчитывается дважды, как пары [Эрни, Берт] и [Берт, Эрни]. Таким образом, правильное количество пар – (30 × 29)/2 = 435.

Если только вы не слышали о гуголплексе. Это с ума сойти какое большое число [гугол = 10100, то есть в десятичной записи единица и сто нулей; гуголплекс = 1010^100 = 10гугол, единица и гугол нулей. Прим. М. Г.].

Или как минимум эти картины имели сходство с определенными типами зрительных образов тех объектов, которые были на них изображены. Многие годы спустя такие картины начали называть реалистичными. Правда, вопрос, что считать «реализмом», стал предметом бурных разногласий в искусствоведческой среде – споры на сей счет длятся примерно столько, сколько существует само искусствоведение.

Анахронизм, согласен, однако примите это как данность. [Для простоты давайте еще считать, что художник одноглаз, иначе придется разбираться с тонкими особенностями бинокулярного зрения. – Прим. М.Г.]

У. Черчилль. Мои ранние годы / Пер. Е. Осеневой, В. Харитонова. 1874–1904. М.: КоЛибри: Азбука-Аттикус, 2011. С. 33. Прим. ред.

Однако, если все линии, на которых находится точка R, являются вертикальными, что представляет собой линия, проходящая через точки R и Р? Это линия, которую мы не нарисовали, – бесконечно удаленная линия, содержащая в себе все бесконечно удаленные точки и ни одной точки евклидовой плоскости.

Аллюзия на так называемый утиный тест, или дак-тест, – шутливый тест на очевидность происходящего; в его основе лежит фраза американского поэта Джеймса Уиткомба Райли (1849–1916): «Когда я вижу птицу, которая ходит как утка, плавает как утка и крякает как утка, я называю эту птицу уткой». Прим. М. Г.

Справедливости ради стоит отметить, что есть еще одна ситуация, в которой плоскость Фано действительно напоминает более традиционную геометрию. Декарт учил нас, что точки на плоскости можно представить в виде пар координат x и y, то есть действительных чисел. Если вы используете декартову систему координат, но укажете координаты в системе счисления, отличающейся от действительных чисел, то получите другие геометрии. Если вы построите картезианскую геометрию с использованием столь любимой программистами булевой системы счисления, состоящей только из двух чисел: 0 и 1, получится плоскость Фано. Это замечательная история, но она выходит за рамки материала данной книги; правда, ниже вы найдете очень сжатый рассказ об этих проблемах:

«Проективную плоскость можно представить в виде множества линий, проходящих через начало координат в трехмерном пространстве; при этом линии на проективной плоскости соответствуют плоскостям, проходящим через начало координат. Плоскость, которая проходит через начало координат в трехмерном пространстве, описывается уравнением вида ax + by + cz = 0. Плоскость, проходящая через начало координат в булевом трехмерном пространстве, также задается уравнением ax + by + cz = 0, только теперь a, b, c могут принимать значения либо 0, либо 1. Следовательно, существует восемь возможных уравнений такого вида. Более того, если принять a = b = c = 0, получится уравнение (0 = 0), которое выполняется при всех значениях x, y и z, а значит, не определяет плоскость. Таким образом, всего имеется семь плоскостей, проходящих через начало координат в булевом трехмерном пространстве, а это значит, что на булевой проективной плоскости существует семь прямых линий, что и требовалось доказать».

В каждом сигнале в той или иной мере присутствуют искажения.

C. E. Shannon. A Mathematical Theory of Communication // Bell System Technical Journal. 1948. Vol. 27. Рр. 379–423; К. Э. Шеннон. Математическая теория связи // К. Шеннон. Работы по теории информации и кибернетике / Пер. С. Карпова. М.: Издательство иностранной литературы, 1963. С. 243–332. Прим. М. Г.

Эта тема прекрасно освещена в книге Яна Хакинга The Emergence of Probability («Возникновение теории вероятностей»).

Техническая ремарка для тех, кому интересно то, что я здесь описываю. Собственно, я рассматриваю код, двойственный к обычному коду обычного кода Хэмминга – это частный случай перфорированного кода Адамара.

Если исходное кодовое слово – это 0000000, тогда при наличии одного искаженного бита в сообщении было бы шесть нулей и только одна единица, а значит, получатель может быть совершенно уверен в том, что строка 0000000 и есть надлежащий сигнал.

Если вы не думали об этом раньше, то скорее всего вам было трудно отслеживать мой ход рассуждений. Причина, почему так трудно следить за подобными выкладками, состоит в том, что такую тему невозможно осмыслить, просто сидя и читая о ней. Вы должны взять карандаш и попробовать записать множество из четырех точек, содержащее две разные прямые линии на плоскости Фано, а после того, как вы не справитесь с заданием, – понять, почему вам не удалось его выполнить. Другого способа нет. Предлагаю писать все это прямо на страницах книги, если только вы не взяли ее в библиотеке или не читаете ее на экране.

Ремарка для специалистов: расстояние Хэмминга удовлетворяет неравенству треугольника.

Что совсем не одно и то же!

На языке Po bebop означает «elastic» («резинка»). Хотелось бы думать, что мы имеем дело с неизвестным фактом из истории джаза – истории во многом загадочной; но скорее всего это просто совпадение [бибоп – стиль джаза, сложившийся в 1940-е; название происходит от набора бессмысленных слогов, используемых в вокальных партиях; ярким представителем стиля бибоп было трио Joshua Redman Elastic Band. Прим. М. Г.].

На сайте lojban.org в разделе «Часто задаваемые вопросы» сказано, что количество людей, владеющих языком ложбан на разговорном уровне, «составляет примерно столько, сколько можно сосчитать на пальцах одной руки», – на мой взгляд, очень даже неплохо.

Точнее говоря, сфера – это множество точек, расположенных от центра на расстоянии ровно 1; пространство, описанное здесь, представляет собой полную сферу, которую обычно называют шаром.

Другими словами, на расстоянии 0 или 1, поскольку расстояния Хэмминга в отличие от обычных расстояний должны быть выражены в целых числах.

И. Кеплер. О шестиугольных снежинках / Пер. с лат. Ю. А. Данилова. М.: Наука, 1982.

Есть очень похожая упаковка, называемая гексагональной: в ней слои укладываются несколько иначе. Возможны также смешанные упаковки. Прим. М. Г.

При кубической упаковке получается ромбический додекаэдр, состоящий из двенадцати ромбов (такую же форму имеют некоторые кристаллы минерала гранат), при гексагональной – трапецеромбический додекаэдр, состоящий из шести ромбов и шести трапеций. Прим. М. Г.

Однако нам известно, что атомы алюминия, меди, золота, иридия, свинца, никеля, платины и серебра в твердой форме образуют гранецентрированную кубическую конфигурацию. Это еще один пример математической теории, нашедшей такое применение, которое ее создатели даже не представляли.

Хотя в тех случаях, когда сигналы моделируются в виде последовательностей действительных чисел, а не в виде последовательностей нулей и единиц, задача упаковки сфер – именно то, что нужно для разработки эффективных кодов с исправлением ошибок.

Кон работает в Microsoft Research, подразделении корпорации Microsoft; Microsoft Research в каком-то смысле продолжает традицию исследовательского центра Bell Labs, где в свое время была реализована модель поддержки чистой математики со стороны индустрии высоких технологий – хотелось бы надеяться, на благо обеих.

Про историю поиска плотных упаковок см.: Н. Дж. А. Слоэн. Упаковка шаром // В мире науки. 1984. № 3. С. 72–82. Оптимальность решетки Лича, а также решетки Е8 в восьмимерном пространстве доказала в 2016 году украинский математик Марина Вязовская, работающая в Берлине; см.: E. Klarreich. Sphere Packing Solved in Higher Dimensions // Quanta Magazine. 2016. March 30 (https://www.quantamagazine.org/20160330-sphere-packing-solved-in-higher-dimensions/). Вопрос об упаковках для размерностей, отличных от 1, 2, 3, 8, 24, остается открытым. Прим. М. Г.

Это еще одна замечательная и лихо закрученная история, но слишком длинная, чтобы здесь в нее погружаться; вы можете прочитать о ней в книге: M. Ronan. Symmetry and the Monster: The Story of One of the Greatest Quests of Mathematic. Oxford University Press, 2007.

Какой в этом смысл, если Шеннон доказал, что совершенно случайный выбор кода должен обеспечить в точности такой же результат? В какой-то степени вопрос закономерен, но теорема Шеннона в самом строгом ее виде требует, чтобы кодовые слова были произвольной длины. В нашем примере, когда кодовые слова должны иметь фиксированную длину 48, немного дополнительных усилий позволяют превзойти случайный код, что и сделал Деннистон.

В математических терминах это следствие того, что список билетов Деннистона образует так называемую систему Штейнера.

Дополнение, сделанное, когда книга была в печати. В январе 2014 года молодой математик из Оксфорда Питер Киваш объявил, что он может доказать существование практически всех систем Штейнера, которые приходили в голову математикам.

Б. Паскаль. Мысли / Пер. с фр., вступ. статья, коммент. Ю. А. Гинзбург. М.: Изд-во имени Сабашниковых, 1995. С. 115. Прим. ред.

Пожалуй, на этом я остановлюсь и не стану выдвигать аргументы в пользу этого положения; если хотите получить полное его обоснование, почитайте о теории рациональной зависимости у Гари Бекера и Кевина Мерфи [G. S. Becker, K. Murphy. A Theory of Rational Addiction // Journal of Political Economy. 1988. Vol. 96. Рр. 675–700. Прим. ред.].

Ф. Гальтон. Наследственность таланта. Законы и последствия. М.: Мысль, 1996. Прим. ред.

Во введении к книге Гальтон, прося прощения у иноземцев за то, что исключил их из своего исследования, отметил: «Особенно мне хотелось бы изучить биографии итальянцев и евреев, поскольку и у тех и у других за плечами стоят поколения высокоинтеллектуальных семей».

Ч. Дарвин. Воспоминания о развитии моего ума и характера (автобиография). Дневник работы и жизни / Полный пер. с рукописей Ч. Дарвина, вступит. ст. и коммент. проф. С. Л. Соболя. М.: Издательство Академии наук СССР, 1957. С. 74–75. Прим. ред.

Формальное, но важное замечание: когда Гальтон говорит о «целесообразности», он использует тот биологический факт, что распределение роста человека остается примерно одинаковым от поколения к поколению. Отсутствие регресса теоретически возможно, но это привело бы к повышению изменчивости, а значит, в каждом поколении было бы больше очень высоких и очень низкорослых людей.

Трудно понять, как Секристу, который был знаком с работой Гальтона о человеческом росте, удалось убедить себя, что регрессия к среднему имеет место только в случае переменных, находящихся под контролем человека. Когда теория захватывает ваш разум, противоречащие ей свидетельства – даже те, которые вам уже известны, – порою упускаются из виду.

Эти случаи несколько осложняются тем фактом, что писатели и музыканты совершенствуют свое мастерство по мере накопления опыта. Вряд ли вы сможете вспомнить даже название второго романа Фрэнсиса Скотта Фицджеральда – произведения довольно слабого по сравнению с его первым романом This Side of Paradise («По эту сторону рая»). Однако, когда Фицджеральд довел свой стиль до совершенства, оказалось, что в запасе у него еще кое-что осталось.

Раннинбек (running back, букв. «задний бегущий») – позиция игрока нападения в американском футболе. Прим. М. Г.

Этот факт был выявлен и раскрыт Брайаном Берком из Advanced NFL Stats. Его четкие объяснения и строгое соблюдение принципа золотого сечения в статистическом анализе должны служить примером для всех серьезных спортивных аналитиков.

Хоумран (home run) – чрезвычайно выигрышная игровая ситуация в бейсболе, приносящая команде сразу много очков. Прим. М. Г.

«Доджерс», «Лос-Анджелес Доджерс» (Dodgers) – профессиональный бейсбольный клуб, выступающий в Западном дивизионе Национальной лиги. Прим. ред.

На самом деле во время второй половины сезона общее количество хоумранов немного уменьшается, и это вполне объяснимо, так как игроки, которых вводят в игру в конце сезона, делают больше выходов на биту. Данные о показателях высококлассных игроков, выбивающих хоумран, говорят о том, что количество хоумранов в первой и во второй половинах сезона было у них одинаковым (см.: J. McCollum, M. Jaiclin. Home Run Derby Curse: Fact or Fiction? // Baseball Research Journal. 2010. Fall).

Колония Массачусетского залива (Massachusetts Bay Colony) – одна из первых британских колоний в Северной Америке (1628–1691), управлявшая территорией нынешних штатов Массачусетс, Мэн, Нью-Гемпшир, Род-Айленд и Коннектикут. Прим. М. Г.

Авторы статьи все-таки упоминают о существовании регрессии: «Хотя данный феномен может быть обусловлен регрессией к среднему, мы считаем, что увеличение приема отрубей действительно оказывает настоящее физиологическое воздействие, замедляя быстрое время прохождения и ускоряя медленное время у пациентов, страдающих дивертикулярной болезнью». Трудно сказать, на чем основан этот вывод, кроме веры в отруби.

Строго говоря, он открыл эту диаграмму заново. Еще в 1833 году астроном Джон Гершель сконструировал нечто вроде диаграммы разброса для изучения орбит двойных звезд. Кстати, речь идет не о том Гершеле, который открыл планету Уран, – то был его отец, Уильям Гершель. Воистину знаменитые англичане и их выдающиеся потомки!

Флоренс Найтингейл называла петушиным гребнем не саму диаграмму, а буклет, ее содержащий, но название уже прижилось, поэтому менять что-либо поздно.

Точнее, разнонаправленные случайности уравновесили друг друга. И потом, наследственная компонента роста зависит не только от отца, но и от матери. Прим. М. Г.

Коэффициент 1,08 используется, чтобы сделать средний рост матерей примерно совпадающим с ростом отцов, это позволяет измерять рост мужчин и женщин по одной шкале.

На самом деле изоплеты появились еще раньше. Первыми известными нам изоплетами были изобаты (линии одинаковых глубин), нарисованные на картах рек и гаваней еще в 1584 году. Тем не менее Галлей, по всей вероятности, изобрел этот метод самостоятельно и, само собой разумеется, начал пропагандировать его.

Можно также упомянуть о кривых экспоненциального роста и спада, которые так же широко распространены, как и конические сечения.

Почему используют слово quadric («квадрика»), а не quadratic («квадратный, квадратичный») – это терминологическая тайна, которую я так и не смог постичь.

На самом деле существуют еще некоторые типы таких линий, например линия, которая описывается уравнением xy = 0, то есть пара прямых, пересекающихся в точке (0, 0). Эти линии считаются «вырожденными», но о них мы не будем говорить.

Т. Пинчон. Радуга тяготения. М.: Эксмо, 2012. Прим. ред.

Against the Day – цитата из Евангелия от Иоанна, глава 12, стих 7 (…Let her alone: against the day of my burying hath she kept this…), поэтому и русский вариант названия мог бы быть «На день погребения Моего» (…оставьте ее; она сберегла это на день погребения Моего…). Прим. ред.

Однако, несмотря на свою увлеченность данными, Бертильон допустил серьезную ошибку в самом крупном деле, которым он когда-либо занимался. Он способствовал осуждению Альфреда Дрейфуса по обвинению в государственной измене, предъявив притянутое за уши «геометрическое доказательство»: якобы письмо с предложением о продаже французских военных документов было написано почерком Дрейфуса. Подробное описание бесславного участия Бертильона в деле Дрейфуса можно найти в книге: L. Schneps, C. Colmez. Math on Trial: How Numbers Get Used and Abused in the Courtroom. New York: Basic Books, 2013 («Математика перед судом. Как в зале суда манипулируют и злоупотребляют числами»).

Во всяком случае, именно так рассказывает эту историю Фосдик в статье The Passing of the Bertillon System of Identification («Конец системы идентификации Бертильона»). Как и в случае любого другого знаменитого преступления, совершенного в прошлом, вокруг хищения картины «Мона Лиза» ходит много слухов в духе теории заговора; в других источниках рассказываются совсем иные истории о роли отпечатков пальцев.

Более того, с большой вероятностью категория, в которую записаны более одного подозреваемого, появится гораздо раньше (ср. историю про совпадающие дни рождения в главе 13). И даже еще раньше, если учесть, что варианты длин, высот и т. п. появляются с разной частотой. Прим. М. Г.

Читателям определенного возраста может быть любопытно узнать, что создатель «кода Парсонса» – отец композитора и музыканта Алана Парсонса, автора известной композиции Eye in the Sky («Глаз в небе»), созданной в 1982 году.

Согласен, на самом деле это не просто вопрос корреляции между парами пикселов. И все-таки здесь действительно играет роль объем информации (в понимании Шеннона), которую передает изображение.

Внимательный читатель заметит, что рисунок не соответствует таблице. Прим. М. Г.

Отец того самого Эгона Пирсона, который враждовал с Рональдом Эйлмером Фишером (см. главу 9).

Хотя, возможно, лучше не слишком жаловаться на некорректное использование слова экспоненциальный в значении «быстрый». Не так давно я встретил спортивного комментатора, которого, по всей вероятности, в какой-то момент отчитали за слишком активное употребление слова экспоненциальный; поэтому в следующий раз он написал об «удивительном, логарифмическом повышении скорости» спринтера Усэйна Болта – но получилось еще хуже. [Из сказанного в главе 8 ясно, что логарифмический рост довольно медленный. Прим. М. Г.]

Разумеется, за исключением тех случаев, когда весь фондовый рынок движется в одном направлении.

Ниацин – никотиновая кислота, или витамин PP, или витамин B3. Прим. М. Г.

Крайне консервативное крыло Республиканской партии. Прим. М.Г.

Консервативный термин для леволиберального движения, пытающегося превратить христианское Рождество в мультирелигиозный или культурно нейтральный праздник. Прим. М.Г.

Техническая ремарка для тех, кому интересно то, что я здесь описываю. Это двумерная проекция, полученная методом анализа главных компонентов в данных опроса, а значит, некоррелированность двух осей установлена автоматически. Интерпретацию осей выполнил я сам. Данный пример предназначен исключительно для иллюстрации свойств корреляции, и его ни в коем случае не следует воспринимать как элемент реального социологического исследования!

Смотря какое гамма-излучение, и смотря какой фотоаппарат. Гамма-лучи большой интенсивности могут засветить фотопленку. Прим. М.Г.

Хотя посмотрите статьи Джуды Перла из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, работа которого относится к числу самых заметных попыток решить задачу формализации причинной зависимости.

Обратите внимание, что размеры опытной (рак легких) и контрольной выборок совпадают, поэтому все равно, говорить ли про количество пациентов или про проценты. Прим. М. Г.

Все цифры в этом примере придуманы без попытки сделать их достоверными.

Или, само собой разумеется, «представителей того пола, которому вы отдаете предпочтение», если таковое имеет место быть.

Дополнение, сделанное, когда книга была в печати. По результатам опроса CNN/ORC, проведенного в мае 2013 года, было установлено, что 43 % респондентов поддерживают Закон о доступном медицинском обслуживании; еще 35 % заявили, что закон слишком либерален, тогда как 16 % считают его недостаточно либеральным.

До сих пор не прекращаются споры по поводу того, у кого Перо отнял больше голосов: у Буша или Клинтона. А может быть, сторонники Перо вообще предпочли бы не идти на выборы, вместо того чтобы голосовать за любого из кандидатов основных партий.

В штате Массачусетс 15 мая 1805 года запретили такие виды наказания за подделку денег, как отсечение ушей, клеймение, порка и привязывание к позорному столбу. Если в то время считалось бы, что эти виды наказания запрещены согласно восьмой поправке, не было бы необходимости в принятии закона штата (см.: J. Barlow Felt. A Historical Account of Massachusetts Currency. HardPress Publishing, 2013. P. 214). Следует отметить, что это особое мнение Скалиа не отображает его текущую точку зрения: в 2013 году в интервью журналу New York он заявил о своей уверенности в том, что Конституция США разрешает порку, по всей видимости, он придерживается того же мнения и в отношении отрезания ушей.

Пенология (от лат. poena «наказание») – учение об исполнении наказания. Прим. ред.

После 2002 года количество штатов увеличилось до семнадцати.

Это не совсем те расчеты, которые делал Скалиа; он не утверждал, что штаты, в которых смертная казнь запрещена, считают казнь умственно отсталых преступников не более безнравственным делом, чем смертную казнь вообще. Аргументация Скалиа сводится скорее к утверждению, что у нас нет информации о мнении этих штатов по данному вопросу, а значит, в своих расчетах мы не должны учитывать штаты, где смертная казнь запрещена.

И моделировать карту железных дорог Японии (см.: Tero A., Takagi S., Saigusa T., Ito K., Bebber D. P., Fricker M. D., Yumiki K., Kobayashi R., Nakagaki T. Rules for biologically inspired adaptive network design // Science. 2010. Vol. 327. № 5964. Jan. 22. Рр. 439–442). Прим. М. Г.

Ну да, я тоже знаю парня, который считает, что и Гор и Буш – всего лишь инструменты в руках капиталистических хозяев и поэтому не имеет значения, кто из них победит. Но сейчас речь не об этом парне.

Несомненно, были избиратели, которым больше всего нравился Нейдер, но они предпочли бы Буша Гору, и были такие избиратели, которым больше всего нравился Буш, но они предпочли бы Нейдера Гору. Однако у меня недостаточно развито воображение, чтобы понять этих людей, поэтому я буду исходить из предположения, что их количество не оказывает существенного влияния на результат.

Здесь логика автора не вполне ясна: почему избегающие свет ядра вообще не различают количество пищи? Прим. М. Г.

Должен признать, что совершенно непонятно, действительно ли это вызывает беспокойство у Ральфа Нейдера.

Точнее, Милль говорил о фактически родственной системе голосования, которая называется «система единого передаваемого голоса».

Уже нет: в 2010 году в Берлингтоне был проведен референдум, в ходе которого избиратели проголосовали за отмену преференциальной системы.

В отличие от предыдущего случая, неясно, до какой степени это реалистическая ситуация. Во всяком случае, похоже, автору найти реальный пример не удалось. Прим. М.Г.

Ежегодный чемпионат США по бейсболу. Прим. М. Г.

«Филлис», «Филадельфия Филлис» (Philadelphia Phillies) и «Тайгерс», «Детройт Тайгерс» (Detroit Tigers, букв. «детройтские тигры») – профессиональные бейсбольные клубы. Прим. ред.

Безусловно, здесь есть ряд предположений, самое важное из которых состоит в том, что члены жюри присяжных принимают решения независимо друг от друга; разумеется, это не соответствует реальной ситуации, когда присяжные совещаются перед голосованием.

На самом деле представленная здесь версия пятой аксиомы отличается от формулировки самого Евклида. Впервые такую логически эквивалентную версию аксиомы сформулировал Прокл в V веке нашей эры, а популяризовал эту формулировку Джон Плейфер в 1795 году. Формулировка Евклида немного длиннее.

Русскому математику посвящена одна из сатирических песен Тома Лерера, она так и называется – «Лобачевский». Бесспорно, это величайший комический музыкальный номер всех времен о математических работах.

На первый взгляд это не кажется очевидным, но, если вы хотите убедиться в истинности данного утверждения, настоятельно рекомендую вам взять в одну руку маркер, а в другую – теннисный мяч. И проверьте все сами!

Расхожее представление, что в геометрии Лобачевского «параллельные пересекаются», основано на недоразумении. Параллельные не могут пересекаться по определению, а нарушение постулатов Евклида в другом: их много. Прим. М. Г.

У художников не было необходимости в разработке формальной геометрии проективной плоскости, но они понимали, как этот закон перевоплощается в мазки на холсте, что было вполне достаточно для их целей.

Настолько формалистский, что мы даже не будем пытаться объяснять бейсбольные термины – все понятно и без этого. Прим. М. Г.

«Балтимор Ориолс» (Baltimore Orioles, букв. «балтиморские иволги») и «Нью-Йорк Янкиз» (New York Yankees, букв. «нью-йоркские янки») – профессиональные бейсбольные клубы. Прим. ред.

Справедливости ради отметим: вопрос «Что было известно Дереку Джитеру и когда он об этом узнал?» так до конца и не был решен. В 2011 году в интервью Кэлу Рипкену-младшему он признал, что «Янкиз» «повезло» в этом матче, но не пожелал пойти дальше и сказать, что его следовало вывести в аут. Но его таки следовало вывести в аут.

К. Рид. Гильберт / Пер. с англ. И. В. Долгачева. М.: Наука, 1977. С. 79. Прим. М. Г.

Некоторые историки относят к периоду 1930-х начало гиперматематизации экономики, утверждая, что тенденция использовать аксиомы перешла от Гильберта к экономике через Вальда и других молодых венских математиков, которые объединили гильбертовский метод с прикладными интересами. Исчерпывающий анализ данной идеи, уже полностью разработанной в экономике, представлен в книге: E. Roy Weintraub. How Economics Became a Mathematical Science (Science and Cultural Theory). Duke University Press, 2002.

По всей вероятности, Пеано не случайно был еще одним приверженцем создания искусственных языков на базе рациональных принципов. Он разработал собственный язык под названием Latino Sine Flexione («латынь без словоизменения»), на котором написал некоторые из своих более поздних математических работ.

О психологических последствиях, с которыми сталкивается математик, к своему несчастью открывший такое противоречие, идет речь в рассказе Теда Чана Division by Zero («Деление на ноль»), вышедшем в 1991 году [см.: Т. Чан. Деление на ноль. М.: АСТ, 2005. – Прим. ред.].

Если быть точным, Рассел не был формалистом, таким как Гильберт, заявивший, что аксиомы – это всего лишь последовательности символов, не имеющих определенного смысла. Рассел был скорее «логицистом», по мнению которого, аксиомы являются истинными утверждениями о логических фактах. Сторонники обеих точек зрения были весьма заинтересованы в том, чтобы понять, какие утверждения можно вывести из аксиом. То, насколько вы считаете это различие важным, служит хорошим показателем, понравится ли вам изучать аналитическую философию в магистратуре.

Известная версия парадокса Рассела для застольных обсуждений: «В деревне живет парикмахер, который бреет всех жителей деревни кроме тех, кто бреется сам. Кто бреет парикмахера?» Прим. М.Г.

Они таки на самом деле это делают!

К. Рид. Гильберт. С. 20. Прим. ред.

Всем, кого интересует математическое творчество или, если уж на то пошло, любой другой творческий процесс, я настоятельно рекомендую прочитать эссе Пуанкаре Mathematical Creation («Математическое творчество»).

А. Пуанкаре. Математическое творчество / Пер. с фр. Т. Д. Блохинцевой и А. С. Шибанова // А. Пуанкаре О науке / Под ред. Л. С. Понтрягина. М.: Наука, 1990. С. 405. Прим. ред.

Тем не менее существует иная точка зрения. В своей книге Infinitesimal («Бесконечно малые») Амир Александер утверждает, что в XVII веке именно сугубо формалистская позиция, представленная классической евклидовой геометрией, ассоциировалась с жесткой иерархией и иезуитской ортодоксией, тогда как более интуитивная и менее строгая доньютоновская теория бесконечно малых величин была связана с более прогрессивной и демократической идеологией; см.: A. Alexander. Infinitesimal: How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World. New York: Farrar, Straus and Giroux (FSG), 2014.

К. Рид. Гильберт. С. 180–181. Прим. ред.

К. Рид. Гильберт. С. 272–273. Прим. ред.

Правда, есть одна система голосования, к которой теорема Эрроу неприменима, – голосование по одобрительному принципу, когда нет необходимости заявлять обо всех своих предпочтениях; вы просто отдаете свой голос за любое количество кандидатов, чьи имена включены в избирательный бюллетень, и кандидат, набравший максимальное количество голосов, побеждает. Большинство знакомых мне математиков считают одобрительное голосование и его варианты системой более совершенной, чем голосование большинством голосов и преференциальное голосование. Такая система использовалась при выборах пап, генеральных секретарей ООН и руководителей Американского математического общества, но еще никогда – для избрания правительственных должностных лиц в Соединенных Штатах.

Ж. А. Кондорсе. Эскиз исторической картины прогресса человеческого разума / Пер. И. А. Шапиро. М.: Государственное социально-экономическое издательство, 1936. С. 222–223. Прим. ред.

Автор имеет в виду книгу Томаса Мальтуса Essay on the Principle of Population (1798), см. на русском языке: Т. Р. Мальтус. Опыт закона о народонаселении. СПб., 1895. Прим. ред.

Такую же точку зрения, как у Рузвельта, мы находим в пьесе Шекспира «Отелло» – ярко выраженный антагонизм между «кабинетной ученостью» и мужественностью. В первой же сцене Яго с презрением отзывается о своем сопернике Кассио: «…Великий арифметик… вовеки взвода в поле не водивший и мыслящий в баталиях не больше, чем пряха» [пер. Михаила Лозинского. Прим. М. Г.]. Ровно на этой минуте любой математик, сидящий в зрительном зале, понимает, что Яго – настоящий злодей.

Название стихотворения состоит из второй части пословицы Least said, soonest mended, русским эквивалентом которой можно считать пословицы «Словами делу не поможешь» и «Больше дела – меньше слов». Прим. ред.

Пер. Яна Пробштейна; стихотворение «Словами делу» опубликовано на литературном портале «Стихи.ру» (http://www.stihi.ru/2013/02/14/1976). Прим. ред.

Вторая и последняя часть стихотворения «Словами делу» начинается со строк: «These then were some hazards of the course / Yet though we knew the course was hazards and nothing else» («Такими были опасности на избранном пути, / Хотя мы знали, что весь путь и был опасность, и больше ничего…»). Эшбери, десять лет проживший во Франции, наверняка держал в уме, что английское hasard, означающее «опасность; азарт; риск», заимствовано из французского, где hasard имеет значения «шанс; риск; везение». Такой выбор слова создает общий настрой неумолимой неопределенности, пронизывающий все стихотворение. В конечном счете hasard восходит к арабскому al-zahr «игральная кость», поэтому мы допускаем, что Паскаль, обсуждая с Ферма концепцию выбора ставок, вполне мог бы воспользоваться фразой jeux de hasard (фр. «азартные игры»).

Существуют другие, более глубокие основания для скептического отношения к подходу Сильвера, хотя вашингтонские обозреватели ими не злоупотребляли. Например, что мешает следовать линии Фишера и заявить, что язык теории вероятностей неуместен в случае единичных событий, а применим только к таким вещам, как подбрасывание монеты, которое теоретически можно повторять многократно.

Точнее говоря, его окончательный прогноз был верным для всех штатов; 26 октября он оценил все правильно, за исключением Флориды, где на протяжении последних двух недель избирательной кампании результаты опросов сначала были в пользу Ромни, а затем почти поровну разделились между двумя кандидатами.

Безусловно, если вы хотите устроить все как должно, то вам придется изменить процесс подбрасывания монеты таким образом, чтобы дать больше шансов на победу тому кандидату, который несколько опережает противников, и так далее и тому подобное.

Б. Франклин. Путь к богатству. Автобиография / Пер. с англ. Ю. Кулишенко. М.: Эксмо, 2015.

«Портленд Трэйл Блэйзерс» (Portland Trail Blazers) – профессиональный баскетбольный клуб. Прим. ред.

Ex falso quodlibet – из ложного – что угодно (лат.). Прим. ред.

Джеймс Тиберий Кирк (James Tiberius Kirk), капитан Кирк – персонаж научно-фантастического телесериала «Звездный путь: Оригинальный сериал» (1966–1969). Прим. ред.

Ф. С. Фицджеральд. Крушение / Пер. А. Зверева // Ф. С. Фицджеральд. Собрание сочинений в трех томах. Т. 3. М.: Терра, 1996. С. 398. Прим. ред.

В итоге ему не удалось решить ни одну из этих задач; в конечном счете Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре в 2003 году.

Ф. С. Фицджеральд. Крушение. С. 399. Прим. ред.

С. Беккет. Безымянный / Пер. В. Молота // С. Беккет. Трилогия. М.: Издательство Чернышева, 1994. Прим. ред.

С. Беккет. Мерфи / Пер. А. Панасьева, А. Жгировского. Киев: Ника-центр, 1999.

…уготована судьба Гиппаса – пифагореец, который, как утверждает традиция, погиб в море за разглашение строения додекаэдра (пифагорейцы придавали особое значение двенадцатиугольнику); по другой версии, Гиппас понес кару за разглашение перед непосвященными принципа несоизмеримости [текст коммент. – из изд. 1999 года]. Прим. ред.

С. Беккет. Худшему навстречу // С. Беккет. Дальше никак / Пер. В. Молота. Мурманск: Борей, 2012. С. 77. Прим. ред.

Биографические материалы об Абрахаме Вальде взяты из работы: Oscar Morgenstern. Abraham Wald, 1902–1950 // Econometrica, 1951, Oct., 19, no 4, p. 361–367.

Исторические данные о SRG взяты главным образом из следующего источника: W. Allen Wallis. The Statistical Research Group, 1942–1945 // Journal of the American Statistical Association, 1980, June, 75, no 370, p. 320–330.

W. Allen Wallis. The Statistical Research Group…, p. 322.

W. Allen Wallis. The Statistical Research Group…, p. 322.

W. Allen Wallis. The Statistical Research Group…, p. 329.

Я узнал о Вальде и проблеме крепкой авиационной брони из книги Говарда Вейнера: Howard Wainer. Uneducated Guesses: Using Evidence to Uncover Misguided Education Policies. NJ: Princeton University Press, 2011. Автор использует идеи Вальда для анализа таких же сложных и неполных статистических данных, полученных в ходе изучения сферы образования.

См.: Marc Mangel, Francisco J. Samaniego. Abraham Wald’s Work on Aircraft Survivability // Journal of the American Statistical Association, 1984, June, 79, no. 386, p. 259–267.

См.: Jacob Wolfowitz. Abraham Wald, 1902–1950 // Annals of Mathematical Statistics, 1952, Mar. 23, no. 1, p. 1–13.

Amy L. Barrett, Brent R. Brodeski. Survivor Bias and Improper Measurement: How the Mutual Fund Industry Inflates Actively Managed Fund Performance (http://www.etf.com/docs/sbiasstudy.pdf).

Martin Rohleder, Hendrik Scholz, Marco Wilkens. Survivorship Bias and Mutual Fund Performance: Relevance, Significance, and Methodical Differences // Review of Finance, 2011, vol. 15, no 2, p. 441–474 – см. таблицы. Мы перевели месячную избыточную доходность в годовую избыточную доходность, поэтому цифры в нашем тексте не совпадают с данными, приведенными в статье.

Abraham Wald. Method of Estimating Plane Vulnerability Based on Damage of Survivors. Alexandria, VA: Center for Naval Analyses, repr., 1980, July, CRC 432.

Что касается гипотезы Римана, мне больше всего нравятся книги: John Derbyshire. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Plume; Reprint edition, 2004 [Дж. Дербишир. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. М.: Астрель; Corpus, 2010. – Прим. М. Г.]; Marcus du Sautoy. The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. New York: Harper Perennial; Reprint edition, 2012. О теореме Гёделя см.: Douglas Hofstadter. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. New York: Basic Books, 1999 [Д. Хофштадтер. Гёдель, Эшер, Бах. Эта бесконечная гирлянда. Самара: Бахрах-М, 2001. – Прим. М. Г.]. По правде сказать, теорема Гёделя упоминается в этой книге вскользь, как один из элементов размышлений о самоотносимости в искусстве, музыке и логике.

Daniel J. Mitchell. Why Is Obama Trying to Make America More Like Sweden when Swedes Are Trying to Be Less Like Sweden? // Cato Institute, 2010, March 16 (www.cato.org/blog/why-obama-trying-make-america-more-sweden-when-swedes-are-trying-beless-sweden – просмотрено 13.01.2014).

Horace. Satires 1.1.106 / Trans. Basil Dufallo // Satis/Satura: Reconsidering the «Programmatic Intent» of Horace’s Satires 1.1. Classical World, 2000, vol. 93, no 6, p. 579–590.

Лаффер всегда настаивал, что не он придумал кривую своего имени; когда-то эту идею понял и описал Джон Кейнс, а базовый принцип сформулировал еще в XIV веке историк Ибн Хальдун.

Цит. по: JonathanChait. Prophet Motive: Jude Wanniski, the GOP’s odd man in // New Republic, 1997, March 31.

Hal R. Varian. What Use Is Economic Theory? [Working Paper] University of California at Berkeley, 1989, August (http://people.ischool.berkeley.edu/~hal/Papers/theory.pdf – просмотрено 13.01.2014).

David Stockman. The Triumph of Politics: How the Reagan Revolution Failed. New York: Harper & Row, 1986, p. 10.

N. Gregory Mankiw. Principles of Microeconomics. Amsterdam: Elsevier, 1998, vol. 1, p. 166.

Martin Gardner. The Laffer Curve // Martin Gardner. The Night Is Large: Collected Essays, 1938–1995. New York: St. Martin’s Griffin, 1996, p. 127–139.

Во время рассмотрения в 1978 году законопроекта Кемпа – Рота, направленного на снижение налоговых ставок.

См.: Christoph Riedweg. Pythagoras: His Life, Teaching, and Influence. Ithaca; New York: Cornell University Press, 2005, p. 2.

George Berkeley. The Analyst: A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician (1734) / Ed. David R. Wilkins, (www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Berkeley/Analyst/Analyst.pdf – просмотрено 13.01.2014).

См.: David O. Tall, Rolph L. E. Schwarzenberger. Conflicts in the Learning of Real Numbers and Limits // Mathematics Teaching, 1978, 82, p. 44–49.

Информация о Гранди и его ряде взята в основном из работы: Morris Kline. Euler and Infinite Series // Mathematics Magazine, 1983, Nov., vol. 56, no. 5, p. 307–314.

История о занятиях по исчислению, которые вел Коши, взята из книги: Amir Alexander. Duel at Dawn: Heroes, Martyrs, and the Rise of Modern Mathematics. Harvard University Press, 2010. Амир Александер проводит чрезвычайно интересное историческое исследование взаимодействия между математикой и культурой в начале XIX века. Несколько иная точка зрения на современность подхода Коши представлена в другой публикации: Michael J. Barany. Stuck in the Middle: Cauchy’s Intermediate Value Theorem and the History of Analytic Rigor // Notices of the American Mathematical Society, 2013, Nov., 60, no. 10, p. 1334–1338.

См. исследование, проведенное группой специалистов, возглавляемой Юфом Ванга: Youfa Wang et al. Will All Americans Become Overweight or Obese? Estimating the Progression and Cost of the US Obesity Epidemic // Obesity, 2008, Oct. 16, no. 10, p. 2323–2330.

abcnews.go.com/Health/Fitness/story?id=5499878&page=1.

Long Beach Press-Telegram, 2008, Aug. 17.

Мои комментарии по поводу исследования Ванга в значительной мере совпадают с точкой зрения Карла Бялика, изложенной им в статье «Исследование ожирения выглядит жидковато», см.: Carl Bialik. Obesity Study Looks Thin // Wall Street Journal, 2008, Aug. 15. О статье я узнал уже после написания этой главы.

Эти цифры взяты с сайта North Carolina Career Resource Network (www.soicc.state.nc.us/soicc/planning/c2c.htm), который позже был закрыт.

См.: Katherine M. Flegal et al. Prevalence of Obesity and Trends in the Distribution of Body Mass Index Among US Adults, 1999–2010 // Journal of the American Medical Association, 2012, Feb. 1, 307, no. 5, p. 491–497.

Daniel Byman. Do Targeted Killings Work? // Foreign Affairs, 2006 Mar./Apr. 85, no. 2, p. 95.

Expressing Solidarity with Israel in the Fight Against Terrorism // 107th Congress, House Resolution, 2001, 280.

Отдельные фрагменты этой главы основаны на моей статье, см.: Jordan Ellenberg. Proportionate Response // Slate, 2006, July 24.

См. стенограмму: Meet the Press, 2006, July 16 (www.nbcnews.com/id/13839698/page/2/#.Uf_Gc2TEo9E – просмотрено 13.01.2014).

См.: Ahmed Moor. What Israel Wants from the Palestinians, It Takes // Los Angeles Times, 2010, Sept. 17.

Gerald Caplan. We Must Give Nicaragua More Aid // Toronto Star, 1988, May 8.

David K. Shipler. Robert McNamara and the Ghosts of Vietnam // New York Times Magazine, 1997, Aug. 10, p. 30–35.

Данные о раке мозга приведены на основании материалов, размещенных на официальном портале Национального института онкологии США State Cancer Profiles (http://statecancerprofiles.cancer.gov/cgi-bin/deathrates/deathrates.pl?00&076&00&2&001&1&1&1 – просмотрено 13.01.2014).

Приведенные здесь примеры заболеваемости раком мозга во многом опираются на методы Говарда Вейнера, который провел статистическую обработку похожих случаев заболеваемости раком почки по административным округам, см.: Howard Wainer. Picturing the Uncertain World: How to Understand, Communicate, and Control Uncertainty through Graphical Display. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2009. Однако Вейнер развивает свою мысль намного детальнее и анализирует данные гораздо тщательнее, чем это делаю я на страницах этой книги.

John E. Kerrich. Random Remarks // American Statistician, 1961, June 15, no. 3, p. 16–20.

См.: Kirk Goldsberry. Extra Points: A New Way to Understand the NBA’s Best Scorers // Grantland, 2013, Jan. 9 (www.grantland.com/story/_/id/9795591/kirk-goldsberry-introduces-new-way-understand-nba-best-scorers – просмотрено 13.01.2014). Автор статьи рассматривает подход к оценке результативности нападающих; он предлагает не ограничиваться лишь одним показателем, а именно процентом попаданий, но разработать более содержательные критерии.

Показатели за 1999 год взяты из сводного табеля успеваемости: A Report Card for the ABCs of Public Education. Volume I: 1998–1999. Growth and Performance of Public Schools in North Carolina – особенно см. гл. «25/10 Most Improved Schools in Academic Growth/Gain» о школах с восемью классами обучения (www.ncpublicschools.org/abc_results/results_99/99ABCsTop25.pdf – просмотрено 13.01.2014).

Thomas J. Kane, Douglas O. Staiger. The Promise and Pitfalls of Using Imprecise School Accountability Measures // Journal of Economic Perspectives, 2002, Fall, 16, no. 4, p. 91–114.

Тем не менее, если захотите узнать полнее о соответствующих формальных методах, вы найдете их описания в следующих работах: Kenneth G. Manton et al. Empirical Bayes Procedures for Stabilizing Maps of U.S. Cancer Mortality Rates // Journal of the American Statistical Association, 1989, Sept., 84, no. 407, p. 637–650; Andrew Gelman, Phillip N. Price. All Maps of Parameter Estimates Are Misleading // Statistics in Medicine. 1999, 18, no. 23, p. 3221–3234.

См.: Stephen M. Stigler. Statistics on the Table: The History of Statistical Concepts and Methods. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1999, p. 95.

См., например: Ian Hacking. The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas About Probability, Induction, and Statistical Inference. 2d ed. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2006, ch. 18.

Количественные показатели Уайт взял из своей работы, написанной в 2004 году, см.: Matthew White. 30 Worst Atrocities of the 20th Century (http://users.erols.com/mwhite28/atrox.htm – просмотрено 13.01.2014).

A. Michael Spence, Sandile Hlatshwayo. The Evolving Structure of the American Economy and the Employment Challenge. Council on Foreign Relations, 2011, Mar. (www.cfr.org/industrial-policy/evolving-structure-american-economy-employment-challenge/p24366 – просмотрено 13.01.2014).

Move Over. Falling labour mobility in America may reflect a more efficient market // Economist, 2012, July 7.

William J. Clinton. Back to Work: Why We Need Smart Government for a Strong Economy. New York: Random House, 2011, p. 167.

См.: Jacqueline A. Stedall. From Cardano’s Great Art to Lagrange’s Reflections: Filling a Gap in the History of Algebra. Zurich: European Mathematical Society, 2011, p. 14.

Milwaukee Journal Sentinel, PolitiFact (www.politifact.com/wisconsin/statements/2011/jul/28/republican-party-wisconsin/wisconsin-republican-party-says-more-than-half-nat – просмотрено 13.01.2014).

Радиотрансляция «Sensenbrenner, Voters Take Part in Contentious Town Hall Meeting over Federal Debt» на WTMJ News (Милуоки) от 25 июля 2011 года (www.todaystmj4.com/news/local/126122793.html – просмотрено 13.01.2014).

Все приведенные данные взяты из пресс-релиза Бюро трудовой статистики: Regional and State Employment and Unemployment (Monthly), 2011, June (22.07.2011, www.bls.gov/news.release/archives/laus_07222011.htm).

Steven Rattner.The Rich Get Even Richer // New York Times, 2012, Mar. 26.

elsa.berkeley.edu/~saez/TabFig2010.xls – просмотрено 13.01.2014.

Mitt Romney. Women and the Obama Economy, 2012, Apr. 10 (www.scribd.com/doc/88740691/Women-And-The-Obama-Economy-Infographic).

Представленные здесь расчеты и доводы взяты из статьи Гленн Кесслер, написавшей в Washington Post об этой политической рекламе Ромни; на ее же материалах основан и наш анализ, см.: Glenn Kessler. Are Obama’s Job Policies Hurting Women? // Washington Post, 2012, Apr. 10

Glenn Kessler. Are Obama’s Job Policies Hurting Women?..

Maimonides. Laws of Idolatry. 1.2 / From Isadore Twersky // A Maimonides Reader. New York: Behrman House, Inc., 1972, p. 73.

См.: Yehuda Bauer. Jews for Sale? Nazi-Jewish Negotiations, 1933–1945. New Haven: Yale University Press, 1996, p. 74–90.

Doron Witztum, Eliyahu Rips, Yoav Rosenberg. Equidistant Letter Sequences in the Book of Genesis // Statistical Science, 1994, 9, no. 3, p. 429–438.

Robert E. Kass. In This Issue // Statistical Science, 1994, 9, no. 3, p. 305–306.

Shlomo Sternberg. Comments on The Bible Code // Notices of the American Mathematical Society.1997, Sept., 44, no. 8, p. 938–939.

Alan R. Palmiter, Ahmed E. Taha. Star Creation: The Incubation of Mutual Funds // Vanderbilt Law Review, 2009, 62, p. 1485–1534 – авторы открыто проводят аналогию между балтиморским фондовым брокером и инкубацией взаимных фондов.

Alan R. Palmiter, Ahmed E. Taha. Star Creation…, p. 1503.

Leonard A. Stefanski. The North Carolina Lottery Coincidence // American Statistician, 2008, 62, no. 2, p. 130–134.

Aristotle. Rhetoric 2.24 / Trans. W. Rhys Roberts (classics.mit.edu/Aristotle/rhetoric.mb.txt – просмотрено 14.01.2014).

Ronald A. Fisher. The Design of Experiments. Edinburgh: Oliver & Boyd, 1935, p. 13–14.

Brendan McKay, Dror Bar-Natan. Equidistant Letter Sequences in Tolstoy’s «War and Peace» (cs.anu.edu.au/~bdm/dilugim/WNP/main.pdf – просмотрено 14.01.2014).

Brendan McKay, Dror Bar-Natan, Maya Bar-Hillel, Gil Kalai. Solving the Bible Code Puzzle // Statistical Science, 1999, 14, no. 2, p. 150–173, section 6.

Brendan McKay, Dror Bar-Natan, Maya Bar-Hillel, Gil Kalai. Solving the Bible Code Puzzle…

New York Times, 2010, Dec. 8, A27.

См., например, статью Вицтума: Doron Witztum. Of Science and Parody: A Complete Refutation of MBBK’s Central Claim (www.torahcode.co.il/english/paro_hb.htm – просмотрено 14.01.2014).

Craig M. Bennett et al. Neural Correlates of Interspecies Perspective Taking in the Post-Mortem Atlantic Salmon: An Argument for Proper Multiple Comparisons Correction // Journal of Serendipitous and Unexpected Results, 2010, 1, p. 1–5.

Craig M. Bennett et al. Neural Correlates…, p. 2.

Gershon Legman. Rationale of the Dirty Joke: An Analysis of Sexual Humor. New York: Grove, 1968; repr. Simon & Schuster, 2006.

См. например: Stanislas Dehaene. The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics. New York: Oxford University Press, 1997.

Richard W. Feldmann. The Cardano-Tartaglia Dispute // Mathematics Teacher, 1961, 54, no. 3, p. 160–163.

Материалы об Арбетноте взяты из работ: Ian Hacking. The Emergence of Probability. New York: Cambridge University Press, 1975, ch. 18; Stephen M. Stigler. The History of Statistics. Cambridge, MA: Harvard University Press/Belknap Press, 1986, ch. 6.

Подробный анализ множества различных вариантов, как классических, так и современных, этого «аргумента в пользу разумного замысла» содержится в кн.: Elliot Sober. Evidence and Evolution: The Logic Behind the Science. New York: Cambridge University Press, 2008.

Charles Darwin. The Origin of Species. London. 6th ed., 1872, p. 421.

Richard J. Gerrig, Philip George Zimbardo. Psychology and Life. Boston: Allyn & Bacon, 2002 [Р. Герриг, Ф. Зимбардо. Психология и жизнь. СПб.: Питер, 2004. – Прим. М. Г.].

David Bakan. The Test of Significance in Psychological Research // Psychological Bulletin, 1966, 66, no. 6, p. 423–437.

Цит. по статье: Ann Furedi. Social Consequences: The Public Health Implications of the 1995 «Pill Scare» // Human Reproduction Update, 1999, 5, no. 6, p. 621–626.

Edith M. Lederer. Government Warns Some Birth Control Pills May Cause Blood Clots // Associated Press, 1995, Oct. 19.

Sally Hope. Third Generation Oral Contraceptives: 12 % of Women Stopped Taking Their Pill Immediately They Heard CSM’s Warning // British Medical Journal, 1996, 312, no. 7030, p. 576.

Цит. по: Ann Furedi. Social Consequences…, p. 623.

Klim McPherson. Third Generation Oral Contraception and Venous Thromboembolism // British Medical Journal, 1996, 312, no. 7023, p. 68.

Julia Wrigley, Joanna Dreby. Fatalities and the Organization of Child Care in the United States, 1985–2003 // American Sociological Review, 2005, 70, no. 5, p. 729–757.

Вся информация о детской смертности дается по материалам Национального центра медицинской статистики (National Center for Health Statistics), размещенным на сайте Центра по контролю и профилактике заболеваний (Centers for Disease Control): Sherry L. Murphy, Jiaguan Xu, Kenneth D. Kochanek. Deaths: Final Data for 2010 // National Vital Statistics Reports, 2013, May 8. Vol. 61, no 4 (www.cdu.gov/nchs/data/nusr/nusrbl/nusrbl/04.pdf).

Биографические сведения о Скиннере приводятся по следующим изданиям: B. F. Skinner. …An Autobiography // Festschrift for B. F. Skinner / Ed. Peter B. Dews. New York: Appleton-Century-Crofts, 1970, p. 1–22; B. F. Skinner. Particulars of My Life (B. F. Skinner’s Autobiography, Pt 1). New York University Press, 1985, p. 262–263.

B. F. Skinner. …An Autobiography…, p. 6.

B. F. Skinner. …An Autobiography…, p. 8.

B. F. Skinner. Particulars…, p. 262.

B. F. Skinner. Autobiography…, p. 7.

B. F. Skinner. Particulars…, p. 292.

John B. Watson. Behaviorism. Livingston, NJ: Transaction Publishers, 1998, p. 4.

B. F. Skinner. Autobiography…, p. 12.

B. F. Skinner. Autobiography…, p. 6.

Joshua Gang. Behaviorism and the Beginnings of Close Reading // English Literary History, 2011, 78, no. 1, p. 1–25.

B. F. Skinner. The Alliteration in Shakespeare’s Sonnets: A Study in Literary Behavior // Psychological Record, 1939, 3, p. 186–192. Я узнал об исследованиях Скиннера по аллитерации из классической работы Перси Диакониса и Фредерика Мостеллера: Persi Diaconis, Frederick Mosteller. Methods for Studying Coincidences // Journal of the American Statistical Association, 1989, 84, no. 408, p. 853–861. Настоятельно рекомендую эту статью всем, кто хочет глубже изучить идеи, рассмотренные в настоящей главе.

B. F. Skinner. Alliteration in Shakespeare’s Sonnets…, p. 191.

См., например: Ulrich K. Goldsmith. Words out of a Hat? Alliteration and Assonance in Shakespeare’s Sonnets // Journal of English and Germanic Philology, 1950, 49, no. 1, p. 33–48.

Herbert D. Ward. The Trick of Alliteration // North American Review, 1890, 150, no. 398, p. 140–142.

Thomas Gilovich, Robert Vallone, Amos Tversky. The Hot Hand in Basketball: On the Misperception of Random Sequences // Cognitive Psychology, 1985, 17, no. 3, p. 295–314.

Kevin B. Korb, Michael Stillwell. The Story of the Hot Hand: Powerful Myth or Powerless Critique? // International Conference on Cognitive Science, 2003 (www.csse.monash.edu.au/~korb/iccs.pdf).

Gur Yaar, Shmuel Eisenmann. The Hot (Invisible?) Hand: Can Time Sequence Patterns of Success/Failure in Sports Be Modeled as Repeated Random Independent Trials? // PLoS One, 2011, vol. 6, no. 10, p. e24532.

В связи с этим мне очень понравилась статья Эндрю Мобуссина и Сэмюэла Арбесмана «Как отличать мастерство от удачи, если вам везет на рынке ценных бумаг», см.: Andrew Mauboussin, Samuel Arbesman. Differentiating Skill and Luck in Financial Markets with Streaks. Working Paper, 2011, February 3 (papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1664031). Особенно впечатляет то, что в 2011 г. Эндрю Мобуссин был выпускником средней школы! Выводы авторов не кажутся мне слишком убедительными, но в любом случае их статья дает хороший повод задуматься над этими сложными проблемами.

Информация получена из личной беседы с Хёйзингой.

Yigal Attali. Perceived Hotness Affects Behavior of Basketball Players and Coaches // Psychological Science, 2013, July 1, 24, no. 7, p. 1151–1156.

См.: Allison Klein. Homicides Decrease in Washington Region // Washington Post, 2012, Dec. 31.

См.: David W. Hughes, Susan Cartwright. John Michell, the Pleiades, and Odds of 496,000 to 1 // Journal of Astronomical History and Heritage, 2007, 10, p. 93–99.

Источник: Yuval Peres. Gaussian Analytic Functions (http://research.microsoft.com/en-us/um/people/peres/GAF/GAF.html); автор двух рисунков с точками, разбросанными по квадрату, – главный научный сотрудник в Microsoft Research Ювал Перес.

Ronald A. Fisher. Statistical Methods and Scientific Inference. Edinburgh: Oliver & Boyd, 1959, p. 39.

Joseph Berkson. Tests of Significance Considered as Evidence // Journal of the American Statistical Association, 1942, 37, no. 219, p. 325–335.

История о работе Чжана по гипотезе об ограниченных промежутках написана по материалам моей статьи: J. Ellenberg. The Beauty of Bounded Gaps: A huge discovery about prime numbers and what it means for the future of mathematics // Slate, 2013, May 22. См.: Yitang Zhang. Bounded Gaps Between Primes // Annals of Mathematics, 2014, vol. 179, 3, p. 1121–1174.

Собственную версию Шализи вы можете прочитать в его блоге: http://bactra.org/weblog/698.html.

John P. A. Ioannidis. Why Most Published Research Findings Are False // PLoS Medicine, 2005, 2, no. 8, p. e124 (www.plosmedicine.org/article/info: doi/10.1371/journal.pmed.0020124).

Анализ рисков, связанных с низкой мощностью исследований в области нейробиологии, можно найти в работе: Katherine S. Button et al. Power Failure: Why Small Sample Size Undermines the Reliability of Neuroscience // Nature Reviews Neuroscience, 2013, 14, p. 365–376.

Kristina M. Durante, Ashley Rae, Vladas Griskevicius. The Fluctuating Female Vote: Politics, Religion, and the Ovulatory Cycle // Psychological Science, 2013, 24, no. 6, p. 1007–1016. Я благодарен Эндрю Гельману за беседы о методике, представленной в этой статье, а также за его блог, посвященный данной теме, на материалах которого в значительной мере основан мой анализ (http://andrewgelman.com/2013/05/17/how-can-statisticians-help-psychologists-do-their-research-better).

См.: Andrew Gelman, David Weakliem. Of Beauty, Sex, and Power: Statistical Challenges in Estimating Small Effects // American Scientist, 2009, 97, p. 310–316. Авторы статьи предлагают рассмотреть это статистическое положение на примере следующего вопроса: действительно ли у красивых людей дочери рождаются чаще, чем сыновья. (Ничуть не бывало.)

Christopher F. Chabris et al. Most Reported Genetic Associations with General Intelligence Are Probably False Positives // Psychological Science, 2012, 23, no. 11, p. 1314–1323.

C. Glenn Begley, Lee M. Ellis. Drug Development: Raise Standards for Preclinical Cancer Research // Nature, 2012, 483, no. 7391, p. 531–533.

Uri Simonsohn, Leif Nelson, Joseph Simmons. P-Curve: A Key to the File Drawer // Journal of Experimental Psychology: General, vol. 143, no. 2, p. 534–547. В статье авторы рассматривают p-кривые – это те кривые, о которых и идет речь в нашей главе.

Приведу несколько нужных по теме ссылок: Alan Gerber, Neil Malhotra. Do Statistical Reporting Standards Affect What Is Published? Publication Bias in Two Leading Political Science Journals // Quarterly Journal of Political Science, 2008, 3, no. 3, p. 313–326; Alan S. Gerber, Neil Malhotra. Publication Bias in Empirical Sociological Research: Do Arbitrary Significance Levels Distort Published Results? // Sociological Methods & Research, 2008, 37, no. 1, p. 3–30; E. J. Masicampo, Daniel R. Lalande. A Peculiar Prevalence of P Values Just Below.05 // Quarterly Journal of Experimental Psychology, 2012, 65, no. 11, p. 2271–2279.

См. материалы судебного дела: Matrixx Initiatives, Inc. v. Siracusano, 131 S.Ct.1309, 563 U.S., 179 L. Ed. 2d 398 (2011).

Robert Rector, Kirk A. Johnson. Adolescent Virginity Pledges and Risky Sexual Behaviors // Heritage Foundation, 2005, June 14 (www.heritage.org/research/reports/2005/06/adolescent-virginity-pledges-and-risky-sexual-behaviors – просмотрено 14.01.2014).

Robert Rector, Kirk A. Johnson, Patrick F. Fagan. Understanding Differences in Black and White Child Poverty Rates // Heritage Center for Data Analysis report CDA01-04, 2001, n. 20, p. 15; цитата дается по работе: Jordan Ellenberg. Sex and Signifance // Slate, 2005, July 5 (http://thf_media.s3.amazonaws.com/2001/pdf/cda01-04.pdf – просмотрено 14.01.2014).

Michael Fitzgerald, Ioan James. The Mind of the Mathematician. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2007, p. 151; цитата приводится по работе: Francisco Louçã. The Widest Cleft in Statistics: How and Why Fisher Opposed Neyman and Pearson. Department of Economics of the School of Economics and Management. Lisbon, Working Paper 02.2008/DE/UECE (www.iseg.utl.pt/departamentos/economia/wp/wp022008deuece.pdf – просмотрено 14.01.2014). Необходимо отметить, что Фицджеральд и Джеймс упрямо муссируют тему, будто у многих замечательных математиков был синдром Аспергера. Похоже, авторы не сомневаются в своей правоте – держите это в уме, когда будете читать их оценку социального становления Фишера.

Письмо Хику от 8 октября 1951 года см. в книге: Statistical Inference and Analysis: Selected Correspondence of R. A. Fisher / Ed. J. H. Bennett. Oxford: Clarendon Press, 1990, p. 144. Это письмо упоминается также в книге: Francisco Louçã. The Widest Cleft in Statistics…

Ronald A. Fisher. The Arrangement of Field Experiments // Journal of the Ministry of Agriculture of Great Britain, 1926, 33, p. 503–513; см. также: Jerry Dallal. Why p = 0.05? (www.jerrydallal.com/LHSP/p05.htm) – прочитав эту небольшую работу, вы получите полное представление о мыслях Фишера по данному вопросу.

Ronald A. Fisher. Statistical Methods and Scientific Inference. Edinburgh: Oliver & Boyd, 1956, p. 41–42; см. также: Jerry Dallal. Why p = 0.05?…

Charles Duhigg. How Companies Learn Your Secrets // New York Times Magazine, 2012, Feb. 16.

Peter Lynch, Owen Lynch. Forecasts by PHONIAC // Weather, 2008, 63, no. 11, p. 324–326.

Ian Roulstone, John Norbury. Invisible in the Storm: The Role of Mathematics in Understanding Weather. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2013, p. 281.

Edward N. Lorenz. The Predictability of Hydrodynamic Flow // Transactions of the New York Academy of Sciences, 1963, series 2, vol. 25, no. 4, p. 409–432.

Eugenia Kalnay. Atmospheric Modeling, Data Assimilation, and Predictability. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2003, 26.

Jordan Ellenberg. This Psychologist Might Outsmart the Math Brains Competing for the Netflix Prize // Wired, 2008, Mar., p. 114–122.

Xavier Amatriain, Justin Basilico. Netflix Recommendations: Beyond the 5 Stars (techblog.netflix.com/2012/04/netflix-recommendations-beyond-5-stars.html – просмотрено 14.01.2014).

Отличное описание повального увлечения экстрасенсорным восприятием можно найти в работе: FrancisWickware. Dr. Rhine and ESP // Life, 1940, Apr. 15.

Thomas L. Griffiths, Joshua B. Tenenbaum. Randomness and Coincidences: Reconciling Intuition and Probability Theory // Proceedings of the 23rd Annual Conference of the Cognitive Science Society, 2001.

Из личной беседы с Гэри Лупяном.

Thomas L. Griffiths, Joshua B. Tenenbaum. Randomness and Coincidences…, fig. 2.

Bernd Beber, Alexandra Scacco. The Devil Is in the Digits // Washington Post, 2009, June 20.

Ronald A. Fisher. Mr. Keynes’s Treatise on Probability // Eugenics Review, 1922, 14, no. 1, p. 46–50.

Слова Фейнмана приводят авторы предисловия к «Фейнмановским лекциям по физике»; цит. по: David Goodstein, Gerry Neugebauer. Special preface // R. Feynman. Six Easy Pieces: Essentials of Physics Explained by Its Most Brilliant Teacher (New York: Basic Books,2011), xxi.

Материал этой подглавки в значительной мере взят из книги: Elliott Sober. Evidence and Evolution: The Logic Behind the Science: The Logic Behind the Science. New York: Cambridge University Press, 2008.

См.: Aileen Fyfe. The Reception of William Paley’s Natural Theology in the University of Cambridge // British Journal for the History of Science 1997, 30, no. 106, p. 324.

Из письма Дарвина Джону Лаббоку от 22 ноября 1859 года, см.: Darwin Correspondence Project (www.darwinproject.ac.uk/letter/entry-2532 – просмотрено 14.01.2014).

Nick Bostrom. Are We Living in a Computer Simulation? // Philosophical Quarterly, 2003, 53, no. 211, p. 243–255.

Бостром приводит не один аргумент в пользу того, что мы живем внутри компьютерной модели. Теория, конечно, спорная, но вряд ли стоит от нее сразу отмахиваться.

Вся информация о лотерее в Генуе взята из следующего источника: David R. Bellhouse. The Genoese Lottery // Statistical Science, 1991, May, 6, no. 2, p. 141–148.

Имеются в виду такие здания, как Stoughton Hall и Holworthy Hall.

Adam Smith. The Wealth of Nations. New York: Wiley, 2010, bk. 1, ch. 10, p. 102.

История о Галлее и аннуитете взята нами из книги: Ian Hacking. The Emergence of Probability. New York: Cambridge University Press, 1975, ch. 13.

См.: Edwin W. Kopf. The Early History of the Annuity // Proceedings of the Casualty Actuarial Society, 1926, 13, p. 225–266.

Информация получена в результате частной беседы с представителями Powerball, в основном с сотрудниками отдела по связям с общественностью.

Jackpot History (www.lottostrategies.com/script/jackpot_history/draw_date/101 – просмотрено 14.01.2014).

Статистический анализ известных результатов и тех комбинаций, каким игроки в лотерею отдают предпочтение или от каких, напротив, воздерживаются, вы найдете в работе: John Haigh. The Statistics of Lotteries // Handbook of Sports and Lottery Markets / Eds. Donald B. Hausch, William Thomas Ziemba. Amsterdam: Elsevier, 2008, ch. 23, p. 481–502.

См. официальное письмо генерального инспектора штата Массачусетс Грегори Салливана казначею штата Массачусетс Стивену Гроссману от 27 июля 2012 года (www.mass.gov/ ig/ publications/ reports-and-recommendations/ 2012/ lottery-cash-winfall-letter-july-2012.pdf – просмотрено 14.01.2014). Отчет Салливана – за исключением случаев, когда речь идет об ином, – представляет собой ценный источник информации о крупнейших ставках при игре в лотерею Cash WinFall.

Мне не удалось установить, когда именно было выбрано название Random Strategies; вполне допускаю, что в самом начале игры в лотерею, т. е. в 2005 году, команда им еще не пользовалась.

Телефонный разговор с Джеральдом Селби от 11 февраля 2013 года.

Я признателен Франсуа Доре за этот перевод.

Материал о ранних годах жизни Бюффона взят из книги: Jacques Roger. Buffon: A Life in Natural History / Trans. Sarah Lucille Bonnefoi. Ithaca, New York: Cornell University Press, 1997, ch. 1, 2.

Цитата из небольшой работы Бюффона 1777 г. Essai d’Arithmetique Morale («Опыт нравственной арифметики»), опубликованной на английском языке, см.: Georges-Louis Leclerc de Buffon’s «Essays on Moral Arithmetic» / Trans. John D. Hey, Tibor M. Neugebauer, Carmen M. Pasca // The Selten School of Behavioral Economics. A Collection of Essays in Honor of Reinhard Selten / Eds. Axel Ockenfels, Abdolkarim Sadrieh. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2010, part 5, p. 245–282.

Pierre Deligne. Quelques idées maîtresses de l’œuvre de A. Grothendieck // Matériaux pour l’histoire des mathématiques au XXe siècle: Actes du colloque à la mémoire de Jean Dieudonné, Nice, 1996. Paris: Société Mathématique de France, 1998. Приведу оригинальный текст: «…rien ne semble de passer et pourtant à la fin de l’exposé un théorème clairement non trivial est là». Перевод на английский сделан Колином Маккарти, см. статью: Colin McCarty. The Rising Sea: Grothendieck on Simplicity and Generality // Episodes in the History of Modern Algebra (1800–1950). Providence: American Mathematical Society, 2007, part 1, p. 301–322.

Из неопубликованных мемуаров Александра Гротендика Récoltes et Semailles, английский перевод см. в статье: Colin McCarty. The Rising Sea…, p. 302. [частично эти воспоминания переведены на русский язык, см.: А. Гротендик. Урожаи и посевы / Пер. с фр. Ю. Фридман. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – Прим. М. Г.].

Телефонный разговор с Джеральдом Селби от 11 февраля 2013 года – вся информация о роли Селби получена во время этой беседы.

Из электронного письма Андреа Эстес автору от 5 февраля 2013 года.

Andrea Estes, Scott Allen. A Game with a Windfall for a Knowing Few // Boston Globe, 2011, July 31.

История о французской лотерее и Вольтере написана на материалах двух исследований, см.: Haydn Mason. Voltaire. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1981, p. 22–23; Brendan Mackie. The Enlightenment Guide to Winning the Lottery (www.damninteresting.com/the-enlightenment-guide-to-winning-the-lottery – просмотрено 14.01.2014).

См. официальное письмо генерального инспектора штата Массачусетс Грегори Салливана казначею штата Массачусетс Стивену Гроссману от 27 июля 2012 года (www.mass.gov/ig/publications/reports-and-recommendations/2012/lottery-cash-winfall-letter-july-2012.pdf).

Andrea Estes, Scott Allen. A Game with a Windfall…

Во всяком случае, традиционно эти слова приписывают Стиглеру. Я не смог найти тому никаких доказательств, тем более письменных.

Damian Paletta. Social Security Kept Paying Benefits to 1,546 Deceased // Wall Street Journal, 2013, June 24, blog Washington Wire.

Nicholas Beaudrot. The Social Security Administration Is Incredibly Well Run (www.donkeylicious.com/2013/06/the-social-security-administration-is.html).

Из письма Паскаля Пьеру Ферма от 10 августа 1660 года.

Все приведенные здесь и далее цитаты Вольтера взяты из его двадцать пятого философского письма, содержащего замечания на «Мысли» Паскаля (Voltaire. Philosophical Letters. Twenty-fifth Letter: On Mr. Paskal’s Pensées).

Greg Mankiw’s Blog: My personal work incentives, 2008, Oct. 26 (gregmankiw.blogspot.com/2008/10/blog-post.html). Позже Мэнкью вернулся к этой теме в своей постоянной колонке: N. Gregory Mankiw. I Can Afford Higher Taxes. But They’ll Make Me Work Less // New York Times, 2010, Oct. 9.

Обе цитаты Бюффона взяты из его работы 1777 г. Essai d’Arithmetique Morale («Опыт нравственной арифметики»), см.: Georges-Louis Leclerc de Buffon’s «Essays on Moral Arithmetic» / Trans. John D. Hey, Tibor M. Neugebauer, Carmen M. Pasca // The Selten School of Behavioral Economics. A Collection of Essays in Honor of Reinhard Selten / Eds. Axel Ockenfels, Abdolkarim Sadrieh. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2010, part 5, p. 245–282.

Биографические данные о Даниэле Эллсберге взяты из следующих источников: Tom Wells. Wild Man: The Life and Times of Daniel Ellsberg. New York: St. Martin’s, 2001; Daniel Ellsberg. Secrets: A Memoir of Vietnam and the Pentagon Papers. New York: Penguin, 2003.

Daniel Ellsberg. The Theory and Practice of Blackmail // RAND Corporation, paper series, 1968, July (www.rand.org/content/dam/rand/pubs/papers/2005/P3883.pdf – просмотрено 14.01.2014)

Daniel Ellsberg. Risk, Ambiguity, and the Savage Axioms // Quarterly Journal of Economics, 1961, 75, no. 4, p. 643–669.

Otto-Joachim Gruesser, Michael Hagner. On the History of Deformation Phosphenes and the Idea of Internal Light Generated in the Eye for the Purpose of Vision // Documenta Ophthalmologica, 1990, 74, no. 1–2, p. 57–85.

Интервью Дэвида Фостера Уоллеса, данное им 17 мая 1996 года журналу Word (www.badgerinternet.com/~bobkat/jest11a.html – просмотрено 14.01.2014).

Gino Fano. Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva // Giornale di matematiche, 1892, 30, s. 106.

Перевод на английский язык вы найдете в статье: C. H. Kimberling. The Origins of Modern Axiomatics: Pasch to Peano // American Mathematical Monthly, 1972, Feb., 79, no. 2, p. 133–136.

Информация о Хэмминге взята, главным образом, из книги: Thomas M. Thompson. From Error-Correcting Codes Through Sphere Packing to Simple Groups. Washington, DC: Mathematical Association of America, 1984.

Thomas M. Thompson. From Error-Correcting Codes…, p. 27.

Thomas M. Thompson. From Error-Correcting Codes…, p. 5, 6.

Thomas M. Thompson. From Error-Correcting Codes…, p. 29.

Вся информация о языке Рo взята из «Словаря Рo» (Dictionary of Ro) на сайте www.sorabji.com/r/ro.

В английском переводе трактат Кеплера называется On the Six-Cornered Snowflake. Материал об упаковке сфер взят из книги: George Szpiro. The Kepler Conjecture. New York: Wiley, 2003.

Henry Cohn, Abhinav Kumar. Optimality and Uniqueness of the Leech Lattice Among Lattices // Annals of Mathematics, 2009, 170, p. 1003–1050.

Thomas M. Thompson. From Error-Correcting Codes…, p. 121.

Ralph H. F. Denniston. Some New 5-designs // Bulletin of the London Mathematical Society, 1976, 8, no. 3, p. 263–267.

Pascal. Pensées, § 139.

Информация об «обычном предпринимателе» взята из главы 6 книги Скотта Шейна «Иллюзии предпринимательства»: Scott. A. Shane. The Illusions of Entrepreneurship: The Costly Myths That Entrepreneurs, Investors, and Policy Makers Live By. New Haven, CT: Yale University Press, 2010.

Horace Secrist. An Introduction to Statistical Methods: A Textbook for Students, a Manual for Statisticians and Business Executives. New York: Macmillan, 1917.

Horace Secrist. The Triumph of Mediocrity in Business. Chicago: Bureau of Business Research, Northwestern University, 1933, p. 7.

Robert Riegel. Annals of the American Academy of Political and Social Science, 1933, Nov., vol. 170, no. 1, p. 179.

Horace Secrist. The Triumph of Mediocrity in Business…, p. 24.

Horace Secrist. The Triumph of Mediocrity in Business…, p. 25.

См.: Karl Pearson. The Life, Letters and Labours of Francis Galton. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1930, p. 66.

Francis Galton. Memories of My Life. London: Methuen, 1908, p. 288. Воспоминания Гальтона и его биография, написанная Карлом Пирсоном, в полном виде представлены в потрясающем сборнике Galtoniana, см. сайт galton.org.

Цит. по: Emel Aileen Gökyigit. The Reception of Francis Galton’s Hereditary Genius // Journal of the History of Biology, 1994, Summer, 27, no. 2.

Charles Darwin. Autobiography // Ed. Francis Darwin. The Life and Letters of Charles Darwin. New York; London: Appleton, 1911, p. 40.

Eric Karabell. Don’t Fall for Another Hot April for Ethier // Eric Karabell’s Blog. Fantasy Baseball (http://insider.espn.go.com/blog/eric-karabell/post/_/id/275/andre-ethier-los-angeles-dodgers-great-start-perfect-sell-high-candidate-fantasy-baseball – просмотрено 14.01.2014).

Информация о количестве хоумранов взята из выпуска новостного спортивного канала CNN Sports Illustrated, см.: All-Time Leaders at the All-Star Break (http://sportsillustrated.cnn.com/baseball/mlb/2001/allstar/news/2001/07/04/leaders_break_hr).

Harold Hotelling. Review of The Triumph of Mediocrity in Business by Horace Secrist // Journal of the American Statistical Association, 1933, Dec., 28, no. 184, p. 463–465.

Биографические данные о Хотеллинге взяты из работы: Walter L. Smith. Harold Hotelling, 1895–1973 // Annals of Statistics, 1978, Nov, 6, no. 6.

Моя интерпретация истории противостояния между Секристом и Хотеллингом в значительной степени основана на работе: Stephen M. Stigler. The History of Statistics in 1933 // Statistical Science, 1996, 11, no. 3, p. 244–252.

Walter F. R. Weldon. Inheritance in Animals and Plants // Lectures on the Method of Science. Oxford: Clarendon Press, 1906. Об очерке Уэлдона я узнал от Стивена Стиглера.

A. J. M. Broadribb, Daphne M. Humphreys. Diverticular Disease: three studies. Part II. Treatment with Bran // British Medical Journal, 1976, Feb. 21, 1, no. 6007, p. 425–428.

Anthony Petrosino, Carolyn Turpin-Petrosino, James O. Finckenauer. Well-Meaning Programs Can Have Harmful Effects! Lessons from Experiments of Programs Such as Scared Straight // Crime and Delinquency, 2000, 46, no. 3, p. 354–379.

Francis Galton. Kinship and Correlation // North American Review, 1890, 150, p. 419–431.

Информация об истории диаграммы разброса взята из: Michael Friendly, Daniel Denis. The Early Origins and Development of the Scatterplot // Journal of the History of the Behavioral Sciences, 2005, Spring, 41, no. 2, p. 103–130.

Stanley A. Changnon, David Changnon, Thomas R. Karl. Temporal and Spatial Characteristics of Snowstorms in the Continuous United States // Journal of Applied Meteorology and Climatology, 2006, 45, no. 8, p. 1141–1155.

Информация о карте изогон Галлея взята из книги: Mark Monmonier. Air Apparent: How Meteorologists Learned to Map, Predict, and Dramatize Weather. Chicago: University of Chicago Press, 2000, p. 24–25.

Данные и диаграмму предоставил Эндрю Гельман.

Michael Harris. An Automorphic Reading of Thomas Pynchon’s Against the Day, 2008 (www.math.jussieu.fr/~harris/Pynchon.pdf – просмотрено 14.01.2014). См. также: Roberto Natalini. David Foster Wallace and the Mathematics of Infinity // A Companion to David Foster Wallace Studies (American Literature Readings in the Twenty-First Century) / Eds. Marshall Boswell, Stephen J. Burn. New York: Palgrave MacMillan, 2013, p. 43–58. В этой работе представлена аналогичная интерпретация романа Уоллеса «Бесконечная шутка», в котором обнаружены не только параболы и гиперболы, но и циклоиды, представляющие собой то, что получится, если применить математическую операцию инверсии относительно параболы.

Francis Galton. Natural Inheritance. New York: Macmillan, 1889, p. 102.

Raymond B. Fosdick. The Passing of the Bertillon System of Identification // Journal of the American Institute of Criminal Law and Criminology, 1915, 6, no. 3, p. 363–369.

Francis Galton. Co-relations and Their Measurement, Chiefly from Anthropometric Data // Proceedings of the Royal Society of London, 1888, 45, p. 135–145; см. также: Francis Galton. Kinship and Correlation // North American Review, 1890, 150, p. 419–431. Вот собственно что говорил сам Гальтон в этой статье 1890 года: «Далее естественным образом возник вопрос относительно пределов детализации, в которых систему месье Бертильона можно применять успешно. Вне всякого сомнения, измерение каждой дополнительной конечности или другого физического параметра обеспечивало получение дополнительных данных, но каким было соответствующее повышение точности способов идентификации? Размеры разных частей тела одного человека в той или иной мере связаны друг с другом. Большая перчатка или ботинок говорит о том, что они принадлежат крупному человеку. Однако знание того, что у человека есть большая перчатка и большой ботинок, не дает нам гораздо больше информации, чем если бы наши знания были подтверждены только одним или двумя фактами. Было бы в высшей степени некорректно предполагать, что точность антропометрического метода идентификации повышается по мере увеличения количества измерений чего бы то ни было с той же поразительной скоростью, с которой повышается безопасность, обеспечиваемая замками с большим количеством выемок. Выемки делаются так, чтобы у каждой из них была своя глубина, поэтому каждая новая выемка повышает предыдущий уровень безопасности во много раз. Однако размеры различных конечностей и другие физические параметры не являются независимыми друг от друга; следовательно, включение каждого нового параметра повышает надежность идентификации в постоянно убывающей степени».

Francis Galton. Memories of My Life. London: Methuen, 1908, p. 310.

См. прения сторон в судебном разбирательстве Briscoe vs. Virginia, 2010, Jan. 11 (www.oyez.org/cases/2000-2009/2009/2009_07_11191 – просмотрено 14.01.2014).

David Brooks. One Nation, Slightly Divisible // Atlantic, 2001, Dec.

Andrew E. Gelman et al. Rich State, Poor State, Red State, Blue State: What’s the Matter with Connecticut? // Quarterly Journal of Political Science, 2007, 2, no. 4, p. 345–367.

Эти данные можно найти в книге: Andrew E. Gelman. Rich State, Poor State, Red State, Blue State: Why Americans Vote the Way They Do. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2008, p. 68–70.

NIH Stops Clinical Trial on Combination Cholesterol Treatment // NIH News, 2011, May 26 (www.nih.gov/news/health/may2011/nhlbi-26.htm – просмотрено 14.01.2014).

NHLBI Stops Trial of Estrogen Plus Progestin Due to Increased Breast Cancer Risk, Lack of Overall Benefit // NIH press release, 2002, July 09 (www.nih.gov/news/pr/jul2002/nhlbi-09.htm – просмотрено 14.01.2014).

Philip M. Sarrel et al. The Mortality Toll of Estrogen Avoidance: An Analysis of Excess Deaths Among Hysterectomized Women Aged 50 to 59 Years // American Journal of Public Health, 2013, 103, no. 9, p. 1583–1588.

Материалы о ранней истории обнаружения связи между курением и раком легких взяты из следующего источника: Colin White. Research on Smoking and Lung Cancer: A Landmark in the History of Chronic Disease Epidemiology // Yale Journal of Biology and Medicine, 1990, 63, p. 29–46.

Richard Doll, A. Bradford Hill. Smoking and Carcinoma of the Lung // British Medical Journal, 1950, Sept. 30, 2, no. 4682, p. 739–748.

Фишер написал эти слова в 1958 г. Цитата приводится в статье: Paul D. Stolley. When Genius Errs: R. A. Fisher and the Lung Cancer Controversy // American Journal of Epidemiology, 1991, 133, no. 5.

См., например: Dorret I. Boomsma, Judith R. Koopmans, Lorenz J. P. Van Doornen, Jacob F. Orlebeke. Genetic and Social Influences on Starting to Smoke: A Study of Dutch Adolescent Twins and Their Parents // Addiction, 1994, Feb., 89, no. 2, p. 219–26.

Jan P. Vandenbroucke. Those Who Were Wrong // American Journal of Epidemiology, 1989, 130, no. 1, p. 3–5.

Цитата взята из: Jon M. Harkness. The U. S. Public Health Service and Smoking in the 1950s: The Tale of Two More Statements // Journal of the History of Medicine and Allied Sciences, 2007, Apr., 62, no. 2, p. 171–212.

Jon M. Harkness. The U. S. Public Health Service and Smoking…

Jerome Cornfield. Statistical Relationships and Proof in Medicine // American Statistician, 1954, 8, no. 5, p. 20.

О пандемии 2009 г. можно прочитать здесь: Angus Nicoll, Martin McKee. Moderate Pandemic, Not Many Dead – Learning the Right Lessons in Europe from the 2009 Pandemic // European Journal of Public Health, 2010, 20, no. 5, p. 486–488. Однако обратите внимание на то, что по результатам более поздних исследований общее количество погибших во всем мире оказалось намного больше, чем предполагалось первоначально, – около 250 тысяч человек.

Joseph Berkson. Smoking and Lung Cancer: Some Observations on Two Recent Reports // Journal of the American Statistical Association, 1958, Mar., 53, no. 281, p. 28–38.

Joseph Berkson. Smoking and Lung Cancer…

Joseph Berkson. Smoking and Lung Cancer…

Lowering the Deficit and Making Sacrifices, 2011, Jan. 24 (www.cbsnews.com/htdocs/pdf/poll_deficit_011411.pdf – просмотрено 14.01.2014).

Fewer Want Spending to Grow, But Most Cuts Remain Unpopular, 2011, Feb. 10 (www.people-press.org/files/2011/02/702.pdf).

Bryan Caplan. Mises and Bastiat on How Democracy Goes Wrong, Part II // Library of Economics and Liberty, 2003, November 3 (www.econlib.org/library/Columns/y2003/CaplanBastiat.html – просмотрено 14.01.2014).

Paul Krugman. Don’t Cut You, Don’t Cut Me // New York Times, 2011, Feb. 11 (http://krugman.blogs.nytimes.com/2011/02/11/dont-cut-you-dont-cut-me).

Cutting Government Spending May Be Popular but There Is Little Appetite for Cutting Specific Government Programs // Harris Poll, 2011, Feb. 16 (www.harrisinteractive.com/NewsRoom/HarrisPolls/tabid/447/mid/1508/articleId/693/ctl/ReadCustom Default/Default.aspx – просмотрено 14.01.2014).

Данные взяты из отчета телеканала CBS News о результатах проведенного им в январе 2011 года опроса, о котором шла речь выше.

The AP-GfK Poll, November 2010 – вопросы HC1 и HC14a (http://surveys.ap.org/data/GfK/AP-GfK Poll November Topline-nonCC.pdf).

Annals of the Congress of the United States, 1789, Aug. 17. Washington, DC: Gales and Seaton, 1834, p. 782.

Atkins vs. Virginia, 536 US 304 (2002).

Akhil Reed Amar, Vikram David Amar. Eighth Amendment Mathematics (Part One): How the Atkins Justices Divided When Summing // Writ, 2002, June 28 (writ.news.findlaw.com/amar/20020628.html – просмотрено 14.01.2014).

Данные о смертной казни приведены по материалам Информационного центра по смертным приговорам в США, см.: Death Penalty Information Center (www.deathpenaltyinfo.org/executions-year – просмотрено 14.01.2014).

См., например: Atsushi Tero, Ryo Kobayashi, Toshiyuki Nakagaki. A Mathematical Model for Adaptive Transport Network in Path Finding by True Slime Mold // Journal of Theoretical Biology, 2007, 244, no. 4, p. 553–564.

Tanya Latty, Madeleine Beekman. Irrational Decision Making in an Amoeboid Organism: Transitivity and Context-Dependent Preferences // Proceedings of the Royal Society B: Biological Sciences, 2011, Jan., 278, no. 1703, p. 307–312.

Susan C. Edwards, Stephen C. Pratt. Rationality in Collective Decision-Making by Ant Colonies // Proceedings of the Royal Society B: Biological Sciences, 2009, 276, no. 1673, p. 3655–3661.

Constantine Sedikides, Dan Ariely, Nils Olsen. Contextual and Procedural Determinants of Partner Selection: Of Asymmetric Dominance and Prominence // Social Cognition, 1999, 17, no. 2, p. 118–139. Обратите внимание также на рабочий отчет: Shane Frederick, Leonard Lee, Ernest Baskin. The Limits of Attraction // Journal of Marketing Research, 2014, August, vol. 51, no. 4, p. 487–507 – в нем утверждается, что доказательства наличия эффекта асимметричного доминирования у людей вне искусственно созданных лабораторных условий очень слабые.

John Stuart Mill. On Liberty and Other Essays. Oxford: Oxford University Press, 1991, p. 310.

Данные о подсчете голосов взяты из следующего источника: Burlington Vermont IRV Mayor Election (http://rangevoting.org/Burlington.html – просмотрено 15.01.2014). См. также оценку выборов политологом Энтони Гиержински из Университета Вермонта: AnthonyGierzynski. Instant Runoff Voting // The Vermont Legislative Research Service, 2006 (www.uvm.edu/~vlrs/IRVassessment.pdf – просмотрено 15.01.2014).

Ian MacLean. Condorcet: Foundations of Social Choice and Political Theory / Trans. Fiona Hewitt. Cheltenham, UK: Edward Elgar Publishing,1994, p. 7.

Из работы Кондорсе Essay on the Applications of Analysis to the Probability of Majority Decisions – цит. по книге: Ian MacLean. Condorcet…, p. 38.

Информация о Кондорсе, Джефферсоне и Адамсе взята из книги: Ian MacLean. Condorcet…, p. 64.

Информация об отношениях между Вольтером и Кондорсе главным образом взята из следующего источника: David Williams. Signposts to the Secular City: The Voltaire-Condorcet Relationship // The Secular City: Studies in the Enlightenment (Philosophy and Religion) / Eds. T. D. Hemming, Edward Freeman, David Meakin. Exeter, UK: University of Exeter Press, 1994, p. 120–133.

Lorraine Daston, Classical Probability in the Enlightenment. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1995, p. 99.

Из письма мадам Саар от 3 июня 1775 г.; цит. по: David Williams. Signposts to the Secular City…, p. 128.

Эта цитата, а также большая часть исторических сведений о работе Бойяи по неевклидовой геометрии взята из книги: Amir Alexander. Duel at Dawn: Heroes, Martyrs, and the Rise of Modern Mathematics. Cambridge, MA: Harvard University Press, 2011, part 4.

См.: Steven G. Krantz. An Episodic History of Mathematics. Washington, DC: Mathematical Association of America, 2010, p. 171.

Bush vs. Gore, 531 U. S. 98 (2000).

Antonin Scalia. A Matter of Intepretation: Federal Courts and the Law. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997, p. 25.

Эта цитата приводится во многих источниках, например, здесь: Paul Dickson. Baseball’s Greatest Quotations. Rev. ed. Glasgow: Collins, 2008, p. 298.

Richard A. Posner. What’s the Biggest Flaw in the Opinions This Term? // Slate, 2013, June 21.

См., например, мнение судьи Скалиа, совпадающее с мнением большинства: Green vs. Bock Laundry Machine Co., 490 U. S. 504 (1989).

Из речи Гильберта; пер. на англ. яз. выполнен Мэри Уинстон Ньюсон и опубликован ею в математическом журнале Bulletin of the American Mathematical Society (1902, July, p. 437–479).

Constance Reid. Hilbert. Berlin: Springer-Verlag, 1970, p. 57.

D. Hilbert. über das Unendliche // Mathematische Annalen, 1926, 95, p. 161–190; пер. на англ. яз. см.: David Hilbert. On the Infinite / Trans. Erna Putnam, Gerald J. Massey // Philosophy of Mathematics / Eds. Paul Benacerraf, Hilary Putnam. 2d ed. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1983.

Если вы хотите увидеть, как серьезные математики вступают в поединки друг с другом, можете понаблюдать за этим в режиме реального времени на страницах математического блога The N-Category Café в разделе комментариев, см., например: September 27, 2011 «The Inconsistency of Arithmetic» (http://golem.ph.utexas.edu/category/2011/09/the_inconsistency_of_arithmeti.html – просмотрено 15.01.2014).

Phillip J. Davis, Reuben Hersh. The Mathematical Experience. Boston: Houghton Mifflin, 1981, p. 321.

Подробный рассказ о жизни и работе Рамануджана можно найти в книге: Robert Kanigel. The Man Who Knew Infinity. New York: Scribner, 1991.

Constance Reid. Hilbert…, p. 7.

См., например, работу Анжелы Ли Дакворт о твердости характера и настойчивости: Angela Lee Duckworth. Grit: The Power of Passion and Perseverance. New York: Scribner, 2016.

Из письма Марка Твена молодой Хелен Келлер от 17 марта 1903 года; см. на сайте Letters of Note: The Bulk of All Human Utterances Is Plagiarism (www.lettersofnote.com/2012/05/bulk-of-all-human-utterances-is.html – просмотрено 15.01.2014).

Terry Tao. Does One Have to Be a Genius to Do Maths? (http://terrytao.wordpress.com/career-advice/does-one-have-to-be-a-genius-to-do-maths – просмотрено 15.01.2014).

Историю Гёделя и диалог на экзамене см. на сайте Institute for Advanced Study: Kurt Gödel and the Institute (www.ias.edu/people/godel/institute).

Constance Reid. Hilbert…, p. 137.

Constance Reid. Hilbert…, p. 210.

Из трактата Кондорсе Essay on the Applications of Analysis, раздел An Election Between Three Candidates, см.: Ian MacLean. Condorcet…

Правда, Вальд все же проходил обязательную военную службу в румынской армии, так что я не могу утверждать наверняка, что он никогда не брал в руки оружие.

Стихотворение Soonest Mended (www.poetryfoundation.org/poem/177260 – просмотрено 15.01.2014) вошло в сборник Джона Эшбери The Double Dream of Spring («Двойной сон весны»), опубликованный в 1966 г.

Песню Sitting on a Fence группа включила в свой дебютный альбом 1986 г. London 0 Hull 4 («Лондон – Халл 0:4»).

Часть этого материала основана на моем обзоре книги Нейта Сильвера: Jordan Ellenberg. «The Signal and the Noise» by Nate Silver // Boston Globe, 2012, Sept. 29. См.: Nate Silver. The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail – but Some Don’t. Penguin Books, 2015 [Нейт Сильвер. Сигнал и шум. Почему одни прогнозы сбываются, а другие – нет. М.: КоЛибри; Азбука-Аттикус, 2000. – Прим. М. Г.).

Josh Jordan. Nate Silver’s Flawed Model // National Review Online, 2012, Oct. 22 (www.nationalreview.com/articles/331192/nate-silver-s-flawedmodel-josh-jordan – просмотрено 15.01.2014).

Dylan Byers. Nate Silver: One-Term Celebrity? // Politico, 2012, Oct. 29.

Nate Silver. October 25: The State of the States // New York Times, 2012, Oct. 26.

Willard Van Orman Quine. Quiddities: An Intermittently Philosophical Dictionary. Cambridge, MA: Harvard University Press,1987, p. 21.

Это не реальные данные Сильвера, и они, насколько я могу судить, не внесены в архив; здесь представлены просто вымышленные цифры, иллюстрирующие тип прогнозов, которые он делал накануне выборов.

Обсуждение темы выборов, в которых кандидаты имеют почти равные шансы на победу, основано на моей статье, см.: Jordan Ellenberg. To Resolve Wisconsin’s State Supreme Court Election, Flip a Coin // Washington Post, 2011, Apr. 11.

Benjamin Franklin. The Autobiography of Benjamin Franklin. NewYork: Collier, 1909 (www.gutenberg.org/cache/epub/148/pg148.html – просмотрено 15.01.2014).

Краткий пересказ сюжета I, Mudd («Я, Мадд») – восьмой эпизод второго сезона сериала «Звездный путь»; вышел в эфир 3 ноября 1967 г.

F. Scott Fitzgerald. The Crack-Up // Esquire, 1936, Feb.

См., например: George G. Szpiro. Poincaré’s Prize: The Hundred-Year Quest to Solve One of Math’s Greatest Puzzles. New York: Dutton, 2007.

Samuel Beckett. The Unnameable. New York: Grove Press, 1958.

Мои нынешние рассуждения о стиле Дэвида Фостера Уоллеса уже были опубликованы мною ранее, см.: Finite Jest. Editors and Writers Remember David Foster Wallace // Slate, 2008, Sept. 18 (www.slate.com/articles/arts/culturebox/2008/09/finite_jest_2.html).

Samuel Beckett. Murphy. London: Routledge, 1938.