Клиенту А с южного склада доставлено АЮ листов железа. Тогда с северного склада клиенту А доставлено (60 – АЮ) листов. Аналогично клиенту Б с южного склада доставлено БЮ листов железа, а с северного – (40 – БЮ) листов. Теперь по табл. 2.1 можно рассчитать общую стоимость доставки:
5 × АЮ + 7 × (60 − АЮ) + 10 × БЮ + 15 × (40 − БЮ) (рублей)
Если раскрыть скобки, то получается:
общая стоимость доставки = 1020 − 2 × АЮ − 5 × БЮ (рублей) (2.1)
Нам нужно выбрать АЮ и БЮ так, чтобы стоимость была как можно меньше.
Но это еще не все. АЮ и БЮ нельзя выбрать просто так. В задаче есть существенные ограничения. Во-первых, мы не будем отправлять клиентам больше листов, чем они просили. Клиент А заказал 60 листов, а клиент Б – 40 листов. Поэтому в любом случае
АЮ ≤ 60, (2.2)
БЮ ≤ 40. (2.3)
Во-вторых, нужно учесть, что запас на каждом складе ограниченный. С южного склада мы отправляем АЮ + БЮ листов, а всего на этом складе 70 листов. Поэтому АЮ + БЮ не больше 70:
АЮ + БЮ ≤ 70. (2.4)
Аналогично с северного склада мы не можем отправить больше 35 листов:
(40 – АЮ) + (60 – БЮ) ≤ 35.
Раскрыв скобки в этом выражении, получаем:
АЮ + БЮ ≥ 65. (2.5)
Это ограничение можно интерпретировать еще и так: поскольку на северном складе 35 листов, а нам в совокупности необходимо доставить 100 листов, то как минимум 65 листов должны быть доставлены с южного склада.
Вот теперь все! Это и есть задача линейного программирования: нам нужно минимизировать стоимость, которая задана выражением (2.1), и при этом соблюсти ограничения (2.2) (2.5). Внизу, во врезке, задача приведена в окончательном варианте.
Задача линейного программирования
Выбрать АЮ и БЮ так, чтобы минимизировать:
1020 − 2 × АЮ − 5 × БЮ,
при ограничениях:
0 ≤ АЮ ≤ 60,
0 ≤ БЮ ≤ 40,
АЮ + БЮ ≤ 70,
АЮ + БЮ ≥ 65.
Мы добавили, что АЮ и БЮ либо ноль, либо больше нуля, потому что доставить клиенту отрицательное количество листов железа невозможно.
Программирование в данном контексте скорее «оптимизация», а не программирование на компьютере. Слово линейное употребляется потому, что используются исключительно линейные выражения, то есть переменные можно умножать на число, а также вычитать и складывать. И все. Никакие другие операции не применяются. Например, у нас нет выражений типа АЮ × БЮ или АЮ². Оказывается, в такой линейной формулировке можно представить очень многие задачи оптимизации.
В практических задачах переменных и ограничений намного больше. При этом всегда есть только одно выражение, так называемая целевая функция, которую следует либо минимизировать (если речь идет о стоимости), либо максимизировать (если речь идет о доходе). В данном случае наша целевая функция – стоимость (2.1), и ее нужно минимизировать.