. Нуль (0) ведь в реальности не существует, не так ли? Ведь он есть только в нашем воображении, правильно? Он ведь
мнимый, верно?
Древние греки были на удивление более продвинутыми в математике. Архимед вывел формулу объема шара: 4/3πR³. Попробуйте вывести ее самостоятельно без дифференциальных вычислений. И все же даже у греков не было знака для обозначения нуля, по крайней мере до 130 года н. э., когда Птолемей в Александрии ввел его в ограниченное употребление. Греки, как и римляне, оставляли на месте нуля пустое место.
Когда моей дочери было пять лет, мы нередко развлекались незатейливой игрой. Я спрашивал: «Кто на заднем сиденье машины?» Она отвечала: «Никто». – «У этого “никого” окно открыто?» – «Нет». – «Но у меня-то окно открыто. Как же ты можешь говорить, что окно не открыто ни у кого?» «Папа!» – возмущалась дочь. И несмотря на свое расстройство, продолжала игру в слова. Это занятие ей нравилось, но она тогда еще не понимала, что я готовлю ее к абстрактной математике.
А как насчет отрицательных чисел? Вспоминаю учительницу математики в седьмом классе (она была самым плохим педагогом за всю мою жизнь), которая говорила, что отрицательных чисел не существует. «Просто притворитесь, что они есть», – твердила она. К счастью, я был довольно развитым учеником и поэтому решил, что она ошибается. Помню, как убеждал себя: «Отрицательное число похоже на то, что ты кому-то должен». Однако, полагаю, ее совет по поводу отношения к отрицательным числам знаменовал собой конец математики для половины класса. Многие мои соученики никогда больше не испытывали комфорта, производя операции с числами, которых не было. Для меня отрицательные числа существовали всегда.
В седьмом классе я уже сделал для себя вывод: числа не вещи, а мысленные категории, полезные при вычислениях. Существует ли какое-либо число в реальности? Или это просто абстракции, которые мы используем, чтобы правильно организовывать свои мысли? Вообще-то это философский вопрос, имеющий отношение к сути существования: им переполнены книги и статьи. (На моем рабочем столе оказалось издание под названием Does Santa Exist?[74] Эта серьезная книга раскрывает смысл слова «существовать».) Мы вернемся к этому при обсуждении некоторых новых идей в физике, которые могут или не могут существовать. Одной из них будет квантовая волновая функция. Другой – радиус Шварцшильда для черных дыр.
Древние греки верили (именно верили), что существуют только целые числа. Они считали эту истину очевидной. Греки думали, что все остальные числа могут быть записаны как дроби, или отношения целых чисел, например 22/7. Пифагора считают открывшим такие отношения в музыке: это тоны. «Октава» означает, что соотношение частот между соседними звуками составляет 1:2 (на длине вибрирующей струны). Этот музыкальный интервал называется октавой