потому, что включает в себя восемь нот. Музыкальный интервал квинта
[76] шириной в 5 нот имеет соотношение частот рядом расположенных звуков, равное 3:2. Кварта
[77], музыкальный интервал в 4 ступени, имеет соотношение 4:3.
И вот, примерно в 600 году до н. э., произошло поразительное событие – не только в истории математики, но вообще в сфере понимания человечеством окружающего мира. Пифагорейцы открыли, что √2 не может быть записан как отношение целых чисел. В результате они назвали это число иррациональным. Не рациональным. Сумасшествие.
Все это может показаться загадочной стороной математики, но подумайте об этом хорошенько. Как вообще можно быть уверенным, что ваше утверждение истинно? В конце концов, нет ничего сверхъестественного в √2: это всего лишь длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длинами катетов, равными 1. Из физических измерений этой фигуры нельзя заключить, что число будет иррациональным. Вы никогда не перепробуете всех возможных комбинаций целых чисел. Предположим, я скажу, что √2 равен результату деления числа 1 607 521 на 1 136 689. На самом деле это не так, но очень близко. Попробуйте сами: произведите эту операцию на калькуляторе, а потом возведите результат в квадрат. Или используйте таблицу.
Открыв иррациональный характер √2, пифагорейцы сделали важный шаг к признанию реальности ненаучного знания. Я привожу доказательство иррациональности √2 в Приложении 3. Это не очень трудно – можете убедиться сами. Позже мы поговорим подробнее о квадратном корне из 2, а сейчас давайте продолжим наше исследование значения термина мнимый.
Квадратный корень из 2 может быть представлен по крайней мере графически. Как я уже говорил, это длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике с катетами, равными 1. Однако соотношение между длиной окружности и ее диаметром, которое мы называем в честь Пифагора числом π, нельзя представить графически. Получается, оно еще более странное, чем √2. Мы называем его трансцендентным, используя то же слово, которым обозначаем трансцендентальные медитации[78].
Одним из удивительных фактов, касающихся иррациональности √2 (показывающих, насколько это действительно экстраординарное явление), можно считать то, что оно было открыто всего один раз за историю цивилизации. Все другие утверждения по поводу этого числа в конечном счете возвращаются к работам древнегреческих математиков.
А что тогда можно сказать о √−1? Это не целое число, не рациональное и не иррациональное. Оно также не трансцендентное. Означает ли это, что его не существует? Нет, определенным образом оно существует, но только в такой степени, в которой реально существуют и другие числа. Они служат инструментами, которые мы используем для вычислений. Если такой инструмент (будь то 0, или −7, или √2) полезен, пользуйтесь им. Если √−1 нет в списке странных нецелых чисел, это не означает, что его не существует. По моему мнению и по мнению физиков и математиков, это число так же реально, как и 1.