Неопределенный электрический объект. Ампер. Классическая электродинамика. (Агиляр) - страница 25
f(x) = х - x>3/3! + x>5/5! ...
Отсюда мы можем вывести теорему Тейлора, которую обобщил шотландский математик и астроном Джеймс Грегори (1638-1675). Эта теорема гласит, что дифференцируемую функцию в окрестности точки можно приблизить многочленом, коэффициенты которого зависят от производных функции в данной точке. Этот многочлен является не чем иным, как усеченны рядом Тейлора, дополненным суммой членов более высоких порядков:
f(x)=f(a) + f'(a)/1!(х - а)+f"(a)/2!(х - а)>2+...+f>(n)(a)/n!(х - а)>n + R>n(f).
Разные линии отображают приближения 1, 3 и 5-й степени. Естественно, приближение 5-й степени лучше описывает функцию в точке 0.
В начале XIX века уравнения в частных производных (также называемые уравнениями в частных дифференциалах) вызывали большой интерес. Их изучение было связано с некоторыми проблемами физики — в частности, с волновыми уравнениями и уравнениями распространения тепла. При этом имена Лапласа, Коши, Пуассона и Фурье знакомы студентам физических и инженерных факультетов, однако вряд ли они слышали имя Ампера в связи с этими научными дисциплинами. Дело в том, что Ампер больше занимался классификацией уравнений, нежели решением конкретных физических проблем. Его система классификации уравнений в частных производных была хорошо принята, однако ее быстро превзошла система немецкого математика Поля Давида Густава Дюбуа-Реймона (1831-1889), и даже современные математики используют его терминологию. Превосходство системы немецкого математика объясняется очевидными пробелами в работе Ампера. Определения, предложенные французским ученым, неточны, обозначения сложны, теоремы не выстроены по степени важности, а примеры не развернуты. И все же оригинальность работы Ампера была замечена научным сообществом, и ему в 1815 году предложили стать членом Французской академии наук. Работы Ампера были высоко оценены и шотландским математиком Эндрю Расселом Форсайтом (1858-1942), известным среди историков науки благодаря своим многочисленным трактатам. В прекрасном девятитомнике под названием «Теория дифференциальных уравнений» (1890-1906) Форсайт неоднократно упоминает Ампера и положительно оценивает его вклад в изучение дифференциальных уравнений:
«Метод Ампера для интегрирования уравнений в частных производных представлен в двух выдающихся сообщениях во Французском Институте в 1814 году. Приложение метода к уравнениям первого порядка сегодня малоактуально по причине открытия других методов обращения с указанными уравнениями. Приложение же этого метода к уравнениям второго порядка необыкновенно важно. Доклады кажутся сложнее, чем они есть на самом деле, главным образом по причине сложности обозначений».