Все это крайне возмущало другого математика из Германии — Георга Кантора (1845–1918). Он полагал, что нельзя затискивать бесконечно малые величины в какие-то рамки — в этом нет смысла, ведь именно стремление таких чисел к нулю позволяет предельно точно рассчитывать изменения разных показателей и отображать взаимосвязи всяческих процессов. Но поскольку подобные множества, несмотря на огромный потенциал, слишком неопределенные — поди узнай, куда они могут скакнуть, — им нужны более надежные, близкие к реальности, актуальные собратья.
Вообще, что такое множество? Кантор говорил, это нечто целое, объединяющее в себе с той или иной закономерностью большое количество вещей, которые мы видим или о которых думаем. Потенциальное множество — конечный, но безмерно растущий показатель — существует лишь в нашей голове и само по себе ничего не означает. Его миссия — отображать, как меняются одни процессы в зависимости от других, а помогают ему в этом дифференциалы и интегралы, открытые Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем. Другой вид множества (актуальную бесконечность) Кантор представлял точкой, которая на плоскости безгранично отдалена от других точек, расположенных «в поле зрения». Если попробовать построить график функции в окрестностях этой точки, то его вид будет точно таким, как в зоне обычных величин. Значит, рассуждал ученый, актуальное множество являет собой ограниченное, неизменное количество, которое тем не менеебольше всех мыслимых конечных величин.
Идеальный пример такого множества — все точки окружности. Их количество фиксировано — раз; неизменно — два; бессчетно — три. В сфере, которая состоит из бесконечного множества точек, расположенных на одинаковом расстоянии от центральной, и заполнена бесконечным множеством точек, ученый различил два вида актуальных множеств. Одно (сверхконечное) еще можно увеличить, а другое (абсолютное) увеличению не поддается, потому для работы неудобно. Так что математики предпочитают иметь дело только со сверхконечными множествами.
Кроме того, Кантор подметил, что бесконечные целые числа очень похожи на ту точку в плоской системе координат, которая очень сильно отдалена от обычных точек с конечными значениями. Эти числа так же далеки от конечных, только, в отличие от точки, их много — целый ряд! И не найдется среди них ни пары одинаковых, а стоят они, выстроившись в определенной последовательности, подчиненной строгим законам. Потому-то их множество нельзя назвать потенциальным — оно актуальное, и его можно разделить на классы: в первом классе сидят конечные значения, во втором — бесконечные одного рода, в третьем — бесконечные другого рода и т. д.