И что интересно, каждый ряд, каждое множество, хоть конечное, хоть бесконечное, отличается определенной мощностью, которая измеряется по количеству элементов множества. Но если с конечными рядами все более-менее понятно: посчитал все числа, и готово, — то с бесконечными возникают некоторые трудности. Просто посчитать его элементы не получится! Поэтому Кантор предложил использовать метод сопоставления: если каждому элементу одного множества можно подобрать пару в другом множестве, то эти ряды одинаково мощные. Если же в одном множестве наберется элементов только на часть другого множества (то есть после того, как множества разобьются на пары, во втором останутся одинокие элементы), значит, второе явно мощнее. И чем больше классов в ряду, тем выше его мощность. (Кстати, расчеты ученого показали нечто фантастическое: множества точек на прямом отрезке и на периметре квадрата имеют равную мощность, каким бы коротким ни был отрезок и каким бы большим ни казался квадрат.)
А как насчет сложения самих чисел? Вычислить сумму элементов конечного ряда — не хитрость, но можно найти ее и в бесконечном ряду. Там все зависит от последовательности элементов: скажем, странные ряды вроде (1 + 1 ‒ 1 + 1…) и (1 + 2 ‒ 3 + 4…) суммируются по среднему арифметическому начальных элементов. А привычный (1 + 2 + 3…) заставит проделать несколько сложных операций и выдаст в итоге ‒¹⁄₁₂.
Все эти наблюдения позволили Кантору ввести понятие упорядоченного множества, где все элементы расположены в обозначенном заранее порядке, за первым, начальным числом следует второе, определенное изначально, и такой же последователь прикреплен к каждому элементу. Если множество упорядочить, то числа в нем будут подчиняться законам, общим абсолютно для всех целых чисел, и с ними можно будет выполнять те же операции. Что касается внутренней сути актуальных бесконечных множеств, то, по мнению ученого, они имеют двойную связь с реальностью. С одной стороны, множества связаны с миром идей в нашей голове: мы сами приписываем числам какие-то свойства, распределяем на категории, придумываем с ними разные действия. С другой стороны, числовые множества отображают разнообразные процессы и взаимоотношения внешнего мира (взятьхотя бы графики функций), к тому же материальные объекты объединяются с рядами чисел понятием мощности.
Работа Кантора, посвященная теории множеств, вышла в 1877 г., а в 1902 г. его современник, немец Готлиб Фреге (1848–1925), опубликовал собственный труд на эту тему. Фреге пытался разработать такую систему, в которой не было бы противоречий, — такую, которая могла бы стать надежной опорой для всей математики. Но… Когда книгу уже печатали, ученый получил письмо от британского коллеги Бертрана Рассела (1872–1970), указавшего ему на явный промах. В системе Фреге можно было строить множества всех множеств, а это значило, что числовой ряд должен включать себя в себя. Скажем, толпа детей — это обычное множество, поскольку один ребенок не являет собой толпы. Но если столпотворение по условию должно складываться из всех толп мира, то и ему следует присутствовать в собственном составе. Вот эту нестыковку и нашел Рассел, о чем известил Фреге, проиллюстрировав свои претензии наглядными примерами.