Представим, будто в городке живет цирюльник, который бреет лишь тех, кто не бреется сам. Если он бреется сам, то не может брить себя. Если не бреется сам, то просто обязан брить себя. А человек, заявляющий «Я вру», лжет — значит, говорит правду, но тогда его утверждение не может быть ложным. Вот такие парадоксы. Еще один пример Рассел выискал в романе «Жизнь и мнения Тристрама Шенди», написанном Лоренсом Стерном. Герой этого произведения жалуется на то, что никогда не сможет дописать свою биографию, так как за год успевает изложить события всего одного дня. Это, конечно, соответствует здравому смыслу, рассуждал Рассел, однако противоречит теории множеств. Ведь если бы герой жил вечно, количество прожитых лет не уступало бы числу дней — между днями и годами установилось бы парное равновесие, и мощность двух бесконечных рядов сравнялась бы.
Разумеется, это письмо ужасно расстроило Фреге — ему даже пришлось сделать приписку к своему труду с признанием, что фундамент его системы рухнул еще до завершения строительства «здания». Но как бы то ни было, труды Кантора и Фреге не были напрасны. Их открытия и умозаключения подтолкнули математиков пересмотреть свои взгляды на числа, изменить подход к математическому анализу (в частности, к оперированию функциями и интегралами), разработать теорию пределов, базирующуюся на иррациональных числах.
До середины XVIII в. абсолютно все были уверены, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную первой. А профессиональные геометры точно знали: две прямые, пересеченные третьей, образующей с ними по одну сторону два угла, которые не превышают в сумме 180°, обязательно пересекутся между собой. Эти незыблемые правила придумал греческий ученый Евклид, который жил в IV–III вв. до н. э. И вот более чем через 20 столетий двое смелых математиков — венгр Янош Бойяи и россиянин Николай Лобачевский — рискнули заявить, что плоская геометрия Евклида не единственная, есть еще и геометрия объемная, где действуют несколько иные законы.
Янош Бойяи (1802–1860) с детства буквально бредил идеей доказать постулат о параллельных прямых. Он знал, что его папа Фаркаш обсуждал эту проблему со своим другом, известным немецким математиком Карлом Гауссом (1777–1855): оба бились над покорением теоремы, однако, судя по всему, ничего у них не получалось.
В переписке с Фаркашем Карл не раз высказывал мысль, что, возможно, данное утверждение просто ошибочно. Может, есть еще какой-то способ расположения тел в пространстве, отличный от описанного Евклидом? Мол, вон и Кант говорил о каких-то других геометриях, а Канту можно верить: он был знатным мудрецом…