— Еще не совсем нашел, — отвечал незнакомец уже не так возбужденно. — Но вот-вот найду и, когда найду, стану самым великим математиком всех времен и народов! Имена Галуа, Коши, Дирихле, Кантора…
— Ну хватит! — решительно сказал Крейг. — Может быть, вы все же расскажете мне, что именно вы хотите найти?
— Хочу найти? — воскликнул незнакомец с обидой. — Говорю вам, я почти нашел! Я почти придумал универсальную машину, которая сможет решать любые математические задачи! Имея такую машину, я буду знать все! Я смогу…
— А, мечта Лейбница! — сказал Крейг. — Лейбниц ведь тоже мечтал о такой машине. Боюсь только, что мечта эта неосуществима.
— Лейбниц! — презрительно усмехнулся незнакомец. — Лейбниц! Да он просто не знал, с чего начать! А у меня практически уже есть такая машина! Не хватает только нескольких мелочей… Но давайте я вам лучше поподробней расскажу о своих идеях.
— Я хочу построить некую машину M, — начал объяснения незнакомец (как выяснилось, звали его Уолтон), — с вполне определенными свойствами: сначала вы вводите в машину натуральное число х, потом натуральное число у — и тут машина начинает работать и выдает некоторое новое число, которое мы будем обозначать как М(х, у). Итак, М(х, у) — это результат, который мы имеем на выходе машины M в том случае, если на ее входе в качестве первого числа задать число х, а в качестве второго — число у.
— Пока все ясно, — сказал Крейг.
— Кроме того, — продолжал Уолтон, — под словом «число» я понимаю произвольное положительное целое число, поскольку только эти числа я и буду рассматривать в дальнейшем. Как вам, должно быть, известно, обычно говорят, что два натуральных числа имеют одинаковую четность, если они одновременно либо оба четны, либо оба нечетны; если же одно из них четно, а другое нечетно, то их называют числами с различной четностью.
Теперь для любого числа x мы будем обозначать через х* число вида М(х, х). Так вот, я хочу, чтобы моя машина обладала следующими тремя свойствами.
Свойство 1. Для любого числа a должно существовать некоторое число b, такое, что при любом x число М(х, b) будет иметь ту же самую четность, что и число М(х*,а).
Свойство 2. Для любого числа b должно существовать некоторое число а, такое, что при любом x число М(х, а) будет иметь другую четность по сравнению с числом М(х, b).
Свойство 3. Должно существовать число h, такое, что при любом x число М(х, h) будет иметь ту же самую четность, что и само х.
— Вот такими свойствами должна обладать моя машина, — заключил Уолтон.
Инспектор Крейг некоторое время молчал, размышляя.