— Ну и в чем же дело? — спросил он наконец.
— Увы! — отвечал Уолтон. — Сначала я построил машину со свойствами 1 и 2, потом — машину со свойствами 1 и 3, наконец, я сконструировал машину со свойствами 2 и 3. Все три машины прекрасно работают — вон там, в портфеле, у меня подробные схемы… Но когда я пытаюсь объединить все три свойства в одной машине, у меня ничего не получается.
— Что же именно у вас не получается? — поинтересовался Крейг.
— Да она вообще не работает! — воскликнул Уолтон с отчаянием. — Когда я ввожу в нее пару чисел (х, у), то вместо того, чтобы выдать мне результат, машина вдруг начинает странно гудеть, как будто в ней происходит нечто вроде короткого замыкания. Как вы думаете, отчего это может быть?
— Да-а, — покачал головой Крейг. — Здесь есть над чем подумать. Правда, сейчас мне надо уйти, меня ждут, но если вы оставите мне свою визитную карточку или просто фамилию и адрес, то я немедленно дам знать, как только во всем этом разберусь.
Через несколько дней инспектор Крейг написал Уолтону письмо. Начиналось оно так:
Дорогой мистер Уолтон!
Благодарю Вас за то, что вы посетили меня и рассказали о машине, которую пытались построить. Честно говоря, я не совсем понимаю, каким образом ваша машина, даже если бы вам действительно удалось ее создать, могла бы решать любые математические задачи, — хотя вы, несомненно, разбираетесь в этом лучше меня. Однако должен вам сказать, что ваш замысел напоминает мне попытку создания вечного двигателя — он также неосуществим! Фактически же дело обстоит гораздо хуже, чем с вечным двигателем. Ведь последний, несмотря на то что он невозможен в нашем физическом мире, все же не является логически невозможным. Машина же, которую хотите создать вы, невозможна не только физически, но и логически, поскольку те три свойства, о которых вы упоминали, содержат в себе определенное логическое противоречие.
Дальше Крейг объяснял, почему существование подобной машины логически невозможно. Можете ли вы сообразить, почему?
Полезно разбить решение этой задачи на три этапа:
1) показать, что для любой машины, обладающей свойством 1, при любом числе а должно существовать по крайней мере одно число х, такое, что число М(х, а) будет иметь ту же самую четность, что и само х;
2) показать, что для любой машины, обладающей свойствами 1 и 2, при любом числе b найдется некоторое число х, такое, что число М(х, b) будет иметь иную четность по сравнению с этим х;
3) ни одна машина не может объединить в себе свойства 1, 2 и 3.