1. — С помощью твоей теперешней машины можно получить бесконечное множество чисел, которые порождают сами себя, — сказал Крейг.
— Это верно, — согласился Мак-Каллох. — Но как ты это докажешь?
— Начнем с того, — сказал Крейг, — что будем называть некое число SA числом, если оно обладает тем свойством, что для любых чисел X и Y в случае, если X порождает Y, число SX порождает ассоциат Y. До того как ты ввел свое новое правило, единственным А-числом у нас было число 3. Однако для твоей нынешней машины существует бесконечное множество А-чисел, причем для любого А-числа S число S2S обязательно должно порождать само себя, поскольку число S2S порождает ассоциат числа S, который и есть S2S.
— А как ты догадался, что существует бесконечное множество А-чисел? — спросил Мак-Каллох.
— Ну, во-первых, — ответил Крейг, — надеюсь, ты не будешь возражать, что при любых числах X и Y, если число X порождает Y, то число 44X будет также порождать Y?
— Удачное наблюдение! — воскликнул Мак-Каллох. — Конечно, ты прав: ведь если X порождает Y, то число 4X порождает обращение числа Y, а значит, число 44X должно порождать обращение обращения Y — то есть само это число Y.
— Прекрасно, — продолжал Крейг. — Таким образом, если X порождает Y, то число 44X будет тоже порождать Y, и поэтому число 344X будет порождать ассоциат числа Y. Значит, 344 тоже представляет собой A-число. А раз 344 — это A-число, то число 3442344 должно также порождать само себя!
— Замечательно, — сказал Мак-Каллох, — теперь у нас есть уже два числа — 323 и 3442344, которые порождают сами себя. Но разве это позволяет нам сделать вывод о бесконечном множестве таких чисел?
— Видишь ли, — сказал Крейг, — если число S является A-числом, то A-числом должно быть также и число S44, поскольку для любых чисел X и Y, если X порождает Y, то число 44X тоже порождает Y, а значит, число S44X порождает ассоциат Y, поскольку S по условию есть A-число. Таким образом, A-числами являются такие числа, как 3, 344, 34444, и вообще A-числом является любое число, состоящее из тройки, за которой следует любое четное число четверок. Итак, число 323 порождает само себя; то же самое можно сказать о числах 3442344, 34444234444 и т. д. Следовательно, мы действительно имеем бесконечное множество решений.
— Но, между прочим, — добавил Крейг, — ведь существуют и другие решения. Например, числа 443 и 44443 тоже представляют собой A-числа. A-числом является также любое число, состоящее из четного числа четверок, тройки и опять четного числа четверок, как, например, число 4434444, — ведь для любого такого числа