и
Y, при которых
X порождает
AY, а
Y порождает
BX. Например, существуют такие
X и
Y, что
X порождает 7
Y, а
Y порождает 8
X. Не можете ли вы найти эти числа?
6. — Из последней задачи, — сказал Фергюссон, — со всей очевидностью следует (правда, из второго принципа Крейга это получается еще более просто), что для любых операционных чисел M и N должны существовать такие числа X и Y, при которых X порождает M(Y), а Y порождает N(X). Причем это оказывается справедливым не только для данной машины, но и для любой машины, в программу работы которой включены правила 1 и 2. С помощью вашей теперешней машины можно, например, найти такие X и Y, при которых число X порождает обращение числа Y, а число Y порождает ассоциат числа X. Сумеете ли вы их найти?
7. — Это страшно интересно, — сказал Фергюссону Мак-Каллох, когда они с Крейгом решили последнюю задачу. — Но у меня возник вот какой вопрос: подчиняется ли моя машина «двойному» аналогу второго принципа Крейга? Иначе говоря, если заданы два операционных числа M и N, а также два произвольных числа А и В, то обязательно ли существуют такие числа X и Y, при которых X порождает M(AY), а Y порождает N(BX)?
— Ну, конечно, — подтвердил Фергюссон. — Например, существуют такие числа X и Y, при которых число X порождает повторение 7Y, а число Y порождает обращение 89X.
Не могли бы вы найти эти числа?
8. — Я подумал еще вот о чем, — сказал Крейг. — Если имеется некоторое операционное число M и произвольное число В, то обязательно ли должны существовать такие числа X и Y, при которых X порождает М(Y), а Y порождает BX? Например, существуют ли такие X и Y, при которых число X порождает ассоциат Y, а число Y порождает число 78X?
А как думаете вы?
9. — Фактически, — продолжал пояснения Фергюссон, — у нас возможны самые разные комбинации. Так, давая некоторые операционные числа M и N и произвольные числа А и В, всегда можно найти числа X и Y, которые отвечают любому из ниже перечисленных условий:
а) X порождает М(АY) а Y порождает N(X);
б) X порождает М(АY) а Y порождает BX;
в) X порождает M(Y), а Y порождает X;
г) X порождает M(AY), а Y порождает X.
Попробуйте доказать эти утверждения.
10. Триплеты и так далее.
— Ну, теперь-то, мне кажется, мы перебрали уже все возможные варианты, — сказал Крейг.
— Да нет, — ответил Фергюссон. — То, что я вам показывал до сих пор, — это еще только начало. А знаете ли вы, например, что существуют три числа X, Y и Z, такие, что число X порождает обращение Y, число Y порождает повторение Z, а число Z порождает ассоциат