?
— Неужели? — удивился Мак-Каллох.
— Именно так, — подтвердил Фергюссон. — Более того, если заданы три произвольных операционных числа M, N и P, то должны существовать такие числа X, Y и Z, при которых X порождает M(Y), Y порождает N(Z), a Z порождает P(X).
Не сумеете ли вы, читатель, доказать это утверждение? И в частности, каковы будут эти числа X, Y и Z, если известно, что число X порождает обращение Y, число Y порождает повторение Z, а число Z порождает ассоциат X?
После того как Крейг и Мак-Каллох решили и эту задачу, Фергюссон сказал:
— Конечно, тут тоже возможны самые разные варианты этого «тройного» закона. Например, если заданы три любых операционных числа M, N и P, а также три произвольных числа А, В и С, то существуют такие числа X, Y и Z, при которых число X порождает M(AY), число Y порождает N(BZ), а число Z порождает P(СХ). Это справедливо и в том случае, если взять не три числа А, В, С, а любые два из них или даже одно.[5] Так, мы можем найти такие числа X, Y и Z, при которых X порождает АY, Y порождает M(Z), a Z порождает N(BX). Возможны, естественно, и всякие другие варианты — вы вполне можете заняться ими на досуге.
— Кроме того, — продолжал он, — та же идея действует и тогда, когда мы используем 4 операционных числа или даже более. Например, мы можем найти числа X, Y, Z и W, при которых число X порождает 78Y, число Y порождает повторение Z, число Z порождает обращение W, а число W порождает ассоциат 62X. Возможности практически бесконечны, причем их удивительное многообразие обусловлено всего лишь правилами 1 и 2.
1. Одно из решений состоит в том, чтобы принять X = 4325243 и Y = 524325243. Поскольку число 25243 порождает число 5243, то число 325243 порождает ассоциат 5243, или число 524325243, которое и есть Y.
Далее, так как число 325243 порождает Y, то число 4325243 порождает обращение Y, но 4325243 — это как раз и есть X. Таким образом, X порождает обращение Y. Кроме того. Y, очевидно, порождает повторение X (потому что Y — это есть число 52X, а поскольку число 2X порождает X, то число 52X будет порождать повторение X). Итак, X порождает обращение Y, а Y порождает повторение X.
2. Крейг воспользовался законом Мак-Каллоха, а именно: для любого числа А существует некоторое число X (а именно число 32A3), которое порождает число АХ. Так, в частности, если мы примем А за число 2, то получим некоторое число X (а именно число 3223), которое порождает 2X. Число же 2X в свою очередь будет порождать X. Таким образом, в качестве решения этой задачи подходит пара чисел 3223 и 23223: 3223 порождает 23223, а 23223 порождает 3223.