Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 16
2.14. Если бы линейка стоила на 1 копейку дешевле, то общая стоимость товаров, выраженная в копейках, была бы кратна 4, так как в этом случае стоимость каждого вида перечисленных в условии предметов делилась бы на 4. Поскольку названа сумма 5 рублей 27 копеек, то число 27 - 1 = 26 должно делиться на 4 (см. задачу 2.5), что неверно. Таким образом, сумма подсчитана с ошибкой.
2.15. Представим данные числа в виде 6 = 2*3, 12 = 4*3, 15 = 3*5, 18 = 2*9, 24 = 8*3, 36 = 4*9, 45 = 9*5 и воспользуемся следующим утверждением: делимость на число m = pq, представляющее собой произведение взаимно простых чисел р и q, равносильна одновременной делимости на р и на q. Взаимная простота чисел р и q играет существенную роль, поскольку без этого требования утверждение было бы неверно. Например, несмотря на справедливость разложения 24 = 4*6, из делимости числа 12 на 4 и на 6 не следует его делимость на 24. В то же время делимость какого-либо числа на 8 и на 3 влечет за собой его делимость на 24.
2.16. Пусть q>1, q>2, q>3, ... - частные от деления на m чисел 10>1, 10>2, 10>3, ... соответственно с остатками m>1, m>2, m>3, ... Тогда справедливо представление
из которого следует, что числа n и
f>m(n)= n>0+m>1n>1+m>2n>2+. ..+m>kn>k
дают одинаковые остатки при делении на m. Кроме того, если при последовательном вычислении остатков m>1, m>2, m>3, ... уже найден остаток m>k, то остаток от деления на m числа
равен остатку от деления на m слагаемого 10m>k в последней сумме.
2.17. Полагая в признаке Паскаля m = 2, m = 3, m = 5 и m = 9, получаем для (k+1)-значного числа п следующие числа:
f>2(n)= n>0,
f>3(n)= n>0+n>1+n>2+. ..+n>k,
f>5(n)= n>0,
f>9(n)= n>0+n>1+n>2+. ..+n>k.
Эти числа определяют в точности те же признаки делимости, что и сформулированные в задачах 2.4, 2.8, 2.1, 2.9.
2.18. Полагая в признаке Паскаля m = 4 и m = 8, получаем для k-значного числа n следующие числа:
f>4(n)= n>0+2n>1, f>8(n)= n>0+2n>1+4n>2.
Получаемые в результате признаки делимости на 4 и на 8 несколько отличаются от приведенных в задачах 2.5 и 2.6, однако вряд ли могут рассматриваться как более простые, поскольку, на наш взгляд, требуют чуть больше вычислений.
2.19. Доказательство модификации признака Паскаля, по существу, ничем не отличается от доказательства, приведенного в решении задачи 2.16. Разница состоит лишь в том, что деление каких-то из чисел 10>1, 10>2, 10>3, ... на m нужно провести не с остатком, а с недостатком, т. е. в соответствующих формулах
10>k = q>km + m>k
положительные числа m>k взять на m меньшими прежних (отрицательными), a q>k - на 1 большими прежних.
2.20.