Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 17

Производя в признаке Паскаля деление степеней десятки на 11 попеременно то с остатком, то с недостатком, имеем

10 = 11 - 1, m_>1 = -1,

10m_>1 = -10 = -11 + 1, m_>2 = 1,

10m_>2 = 10 = 11 - 1, m_>3 = 1,

откуда получаем, что число дает тот же остаток при делении на 11, что и число

f_>11(n)= n_>0-n_>1+n_>2-n_>3+. ..+(-1)^>kn_>k.

Поэтому для делимости числа n на 11 необходимо и достаточно, чтобы суммы n_>0 + n_>2 + ... и n_>1 + n_>3 + ... отличались друг от друга на число, кратное 11.

2.21. Подставляя значение m = 11 в утверждения, сформулированные в решениях задач 2.11 и 2.12, и используя признак делимости на 11, получаем способы проверки сложения и умножения. Если у числа n, представляющего собой истинный ответ, заменить одну цифру на неверную, то число f_>11(n) обязательно изменится на некоторое число, меньшее 11 (даже меньшее 10), а значит, будет давать другой, уже неверный остаток от деления на 11. Поэтому, сравнив его с верным остатком, можно обнаружить ошибку. Более того, если известно, в какой именно цифре числа n возможна-ошибка, эту цифру можно однозначно восстановить.

2.22. Действуя согласно модифицированному признаку Паскаля, при m = 7 имеем

10 = 7 + 3, m_>1 = 3,

10m_>1 = 30 = 28 + 2, m_>2 = 2,

10m_>2 = 20 = 21 - 1, m_>3 = -1,

10m_>3 = -10 = -7 -3, m_>4 = -3,

10m_>4 = -30 = -28 - 2, m_>5 = -2,

10m_>5 = -20 = -21 + 1, m_>6 = 1,

10m_>6 = 10 = 7 + 3, m_>7 = 3, ... ,

откуда получаем, что число

f_>7(n) = n_>0 + 3n_>1 + 2n_>2 - (n_>3 + 3n_>4 + 2n_>5)+...

2.23. Пусть все цифры числа n разбиты на тройки, образующие трехзначные числа n_>0, n_>1, n_>2, ..., n_>k (начиная справа). Тогда число

дает при делении на 37 тот же остаток, что и сумма n_>0 + n_>1 + n_>2 + ... + n_>k, поскольку в полученном представлении числа n второе выражение делится на 999 = 37*27. Если указанная сумма является более чем трехзначным числом, то к ней можно применить те же рассуждения, что и к исходному числу n, и этот процесс можно продолжать до тех пор, пока не получится трехзначное число. Наконец, любое трехзначное число сводится к двузначному переходом к разности чисел

2.24. Учитывая равенство 1001 = 7*11*13, получаем, что недостаток m_>1 при делении числа 103 (на любое из чисел 7, 11, 13) равен -1. Остаток m_>2 от деления числа 10^>3 равен остатку от деления числа 10^>3m_>1 = -1000 = -1001 + 1, т. е. равен 1. Недостаток m_>3 от деления числа 10^>6, равен недостатку от деления числа 10^>3m_>2 = 1000 = 1001 - 1, т.е. равен -1, и т. д. Поэтому если все цифры числа n разбиты на тройки, образующие трехзначные числа n_>0, n_>1, n_>2, n_>3, ..., n_>k (начиная справа), то число