n = n>0+10>3n>1 +10>6n>2 +10>9n>3+ ...+10>3kn>k
дает при делении на любое из чисел 7, 11, 13 тот же остаток, что и число
n>0-n>1+n>2-n>3+. ..+(-1)>kn>k
Такие же рассуждения можно применить к указанной сумме еще и еще раз до тех пор, пока не получится трехзначное число (возможно, отрицательное). Остаток от деления этого числа на 7, 11, 13 будет таким же, как и у исходного числа n.
2.25. Заметим, что число 10m - 1 не имеет общих делителей с числом 10, так как око не делится ни на 2, ни на 5. Поэтому число n + n>0m делится на 10m - 1 тогда и только тогда, когда на 10m - 1 делится число
10 (n + n>0m) = 10n + 10mn>0 = (10n + n>0)+ (10m - 1)n>0, т. е. когда на 10m - 1 делится первое выражение 10n + n>0 в полученном представлении. Полагая в доказанном утверждении m = 2, получаем, что число 10n + n>0 делится на 19 только одновременно с числом n + 2n>0. Таким образом, мы имеем следующий признак делимости на 19. В данном числе 10n + n>0 отбросим последнюю цифру n>0 и, удвоив ее, прибавим к числу я, составленному из остальных цифр исходного числа. Проделав эту процедуру несколько раз, придем к не более чем двузначному числу, которое будет делиться на 19 в том и только в том случае, если на 19 делилось исходное число. Например, для числа 3 086 379 получаем последовательность чисел 308 655, 30 875, 3097, 323, 38, последнее из которых, а значит, и исходное кратно 19.
2.26. Так как число 10m + 1 взаимно просто с числом 10, то число n - n>0m делится на 10m + 1 только одновременно с числом
10 (n - n>0m) = 10n - 10mn>0 = (10n + n>0) - (10m + 1)n>0, т. е. одновременно с числом 10n + n>0. Полагая в доказанном утверждении m = 3, получаем следующий признак делимости на 31. В данном числе 10n + n>0 отбросим последнюю цифру n>0 и, утроив ее, вычтем из числа n, составленного из остальных цифр исходного числа. Повторяя эту процедуру, мы придем к не более чем двузначному числу (возможно, отрицательному), которое будет делиться на 31 только одновременно с исходным числом. Например, для числа 2 886 379 имеем последовательность чисел 288 610, 28 861, 2883, 279, 0, последнее из которых, а значит, и исходное кратно 31.
2.27. Число 10m + 3 не имеет общих делителей с числом 10, так как оно не делится ни на 2, ни на 5. Поэтому число n + n>0(3m + 1) делится на 10m + 3 только одновременно с числом
10(n + n>0(3m + 1)) = (10n + n>0) + (30m + 9)n>0 = (10n + n>0) + 3(10m + 3)n>0, т. е. одновременно с числом 10n + n>0. Полагая m = 1, получаем признак делимости на 13, согласно которому, отбросив в данном числе последнюю цифру n>0 и прибавив учетверенную