Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 64
12.12. Направление магистрали В каком направлении через город должна проходить магистраль, чтобы сумма расстояний от нее до двух данных населенных пунктов была наименьшей?
12.13. Наилучшее расположение Как должна проходить магистраль, чтобы сумма расстояний от нее до трех данных населенных пунктов была наименьшей?
12.14. Выбор маршрута Три завода расположены в вершинах разностороннего треугольника и соединены друг с другом магистралями. Внутри этого треугольника на одинаковом расстоянии от магистралей находится населенный пункт, который напрямую соединен дорогой с каждым заводом.
Каким должен быть кратчайший замкнутый маршрут автобуса, предназначенного для развозки жителей населенного пункта по всем трем заводам?
12.15. Как проложить дорогу? Две магистрали пересекаются под углом, внутри которого расположен населенный пункт. Как проложить через этот пункт прямую дорогу, соединяющую магистрали, чтобы замкнутый маршрут автобуса, проходящий по этой дороге и участкам магистралей между точками их пересечения с дорогой и друг с другом, был кратчайшим?
12.16. Кратчайший замкнутый маршрут Три магистрали, пересекаясь, образуют остроугольный треугольник. Как проложить кратчайший маршрут автобуса, имеющий выезды к каждой из трех магистралей?
12.17. С наименьшей суммой расстояний Три населенных пункта расположены в вершинах остроугольного треугольника. Где нужно построить завод, чтобы сумма расстояний от него до всех трех данных пунктов была наименьшей?
12.18. Проселочная дорога Через город проходит магистраль, на некотором расстоянии от которой находится населенный пункт. Требуется соединить проселочной дорогой магистраль с пунктом так, чтобы в итоге время проезда из города в этот пункт было наименьшим. От какой точки магистрали нужно отвести дорогу, если известно, что скорость транспорта по проселочной дороге в k раз меньше, чем по магистрали?
Решения
12.1. Кратчайший маршрут катера совпадет с хордой АВ, перпендикулярной радиусу ОС, проходящему через островок D (если островок находится в центре круга, то все маршруты будут иметь одинаковую длину; поэтому мы рассмотрим здесь случай, когда D не совпадает с О, изображенный на рис. 27). Для доказательства этого утверждения проведем через точку D еще какую-либо хорду EF и проверим, что EF>AB. Действительно, перпендикуляр OG к хорде EF имеет меньшую длину, чем наклонная OD к этой хорде. Следовательно, EG>AD (так как в прямоугольных треугольниках OEG и OBD одинаковые гипотенузы ОЕ = ОВ, но разные катеты OG