Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 76
* в-третьих, еще 10 пароходов, которые выйдут из порта В в последующие дни.
Итого данный пароход встретит 21 пароход. Разумеется, то же самое можно сказать и о любом другом из упомянутых пароходов.
13.15. На весь путь из пункта А в пункт В и обратно один поезд затрачивает 4 часа 44 минуты, не считая стоянок на конечных пунктах A и В. За это время из начального пункта А должны отправиться еще 14 поездов, последний из которых должен выйти через 4 часа 40 минут после выхода первого поезда. Очередной поезд из пункта А должен отправиться через 5 часов после выхода первого поезда, и этот рейс может осуществить первый поезд, если он потратит на стоянки в пунктах А и В в общей сложности 16 минут. Таким образом, для обслуживания линии при данных условиях достаточно иметь 15 поездов, а меньшим числом поездов обойтись нельзя.
13.16. Пусть О - точка пересечения хорд АС и BD (рис. 44). Тогда треугольник АОВ подобен треугольнику DOC по двум углам: ∠AOB = ∠DOC (вертикальные углы) и ∠ ABD = ∠ ACD (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). Поэтому имеем равенство
в котором правая часть равна отношению скоростей катера и лодки. Следовательно, катер и лодка проходят расстояния АО и DO соответственно за одинаковое время. Таким образом, если бы они поменялись пунктами назначения, то оказались бы в точке О одновременно, т. е. попросту столкнулись бы.
13.17. Через t ч после начального момента первый корабль будет находиться от точки О на расстоянии |100 - 30t|км, а второй -на расстоянии |300 - 40t|км. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с вершинами в точках расположения кораблей и в точке О имеем, что квадрат расстояния между кораблями будет равен
(100 - 30t)>2 + (100 - 40t)>2 = (10000 -6000t + 900t>2) +
+ (90000 - 24000t + 1600t>2) = 2500t>2 -30000 + 100000 =
= (50t)>2 - 2*300*50t +300>2 = (50t - 300)>2 + 100>2.
Анализ последнего выражения показывает, что наименьшее значение 100>2 оно принимает при t = 6, следовательно, наименьшее расстояние между пароходами равно 100 км.
13.18. Рассмотрим движение одного корабля относительно другого и заметим, что оно является равномерным и прямолинейным, поскольку таковым является движение каждого из кораблей в отдельности. Таким образом, без ограничения общности можно считать, что один корабль покоится в некоторой точке A, а другой - точка В - движется по некоторой прямой линии со скоростью v (рис. 45). Опустим перпендикуляр АС на эту прямую и обозначим через а и b расстояния от кораблей до точки С в момент t = 6. Тогда в любой момент t эти расстояния будут равны а и