Примени математику (Гашков, Сергеев) - страница 86

Рис. 52

В самом деле, найдем величину угла АОС. Так как АС = CD, то треугольник ACD равнобедренный, и так как он прямоугольный, то угол ADC равен 45°. Поскольку AD = DO, то треугольник ADO равнобедренный и угол AOD равен

и, следовательно, угол АОВ равен 45°, т. е. дуга АВ есть ^>1/_>8 часть окружности.

Теперь на окружности радиуса АО от любой точки последовательно отложим семь дуг, каждая из которых равна дуге АВ. Получим вершины правильного восьмиугольника.

15.14. Построим равносторонний треугольник АСВ со стороной, равной данному отрезку АВ. Через точку С проведем прямую, перпендикулярную отрезку АВ. Отложим на этой прямой отрезок СО, равный АВ (рис. 53). Тогда отрезок АО является радиусом окружности, описанной около правильного двенадцатиугольника со стороной АВ. Для подтверждения этого достаточно доказать, что угол АОВ равен 30°. Точка С равноудалена от точек А, В и О, т. е. является центром окружности, описанной около треугольника АОВ. Поэтому

Рис. 53

Теперь на окружности радиуса AО от любой точки последовательно отложим 11 дуг, каждая из которых равна дуге АВ. Получим вершины правильного двенадцатиугольника.

15.15. Из середины С отрезка АВ восставим перпендикуляр (рис. 54) и на нем отложим отрезок CD9 равный ^>1/_>2 АВ, затем отрезок DE, равный AD, и отрезок ВО, равный АЕ. Тогда отрезок АО является радиусом окружности, описанной около правильного шестнадцатиугольника со стороной АВ.

Рис. 54

Так же как и в задаче 15.13, находим, что

Построение правильного шестнадцатиугольника выполняется аналогично построению в предыдущих задачах.

Теперь на окружности радиуса АО от любой точки последовательно отложим 15 дуг, каждая из которых равна дуге АВ. Получим вершины правильного шестнадцатиугольника.

15.16. Пусть заданный отрезок АВ имеет длину а. Найдем длину х большей части "золотого сечения" отрезка АВ. Из пропорции

получаем

Рис. 55

Следовательно, задача сводится к построению отрезка указанной длины х по отрезку длины а. Число

равно длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами а и ^>а/_>2, который можно построить с помощью циркуля и линейки. Для получения отрезка длины достаточно из гипотенузы построенного треугольника вычесть отрезок длины ^>а/_>2. Следовательно, построение "золотого сечения" отрезка АВ можно произвести следующим образом (рис. 55):

* из точки В восставим перпендикуляр BN к отрезку АВ, на нем отложим отрезок ВС длины ^>1/_>2 АВ;

* соединим точки А и С и отложим на отрезке АС отрезок DC длины ВС;

* отложим на отрезке АВ отрезок АЕ длины AD, тогда точка Е делит отрезок АВ в "золотом сечении".