Время переменных. Математический анализ в безумном мире (Орлин) - страница 24
– Мистер Холмс, – говорит он, – речь идет о деле чрезвычайной важности, и я умоляю вас применить все свои способности, чтобы раскрыть эту тайну!
Несколько часов спустя Шерлок Холмс и доктор Ватсон крадутся по «бурой торфяной равнине»[15] и натыкаются на первую подсказку: «вьющуюся черной лентой тропинку. Посередине, на сырой земле, четко виднелись отпечатки велосипедных колес». Именно в этот момент Холмс пускает в ход классический дедуктивный метод:
Эти следы, как вы сами можете убедиться, ведут от школы.
– Или по направлению к школе.
– Нет, мой дорогой Ватсон. Отпечаток заднего колеса всегда глубже, потому что на него приходится бо́льшая тяжесть. Вот видите? В нескольких местах он совпал с менее ясным отпечатком переднего и продавил его. Нет, велосипедист, несомненно, ехал от школы.
Какие достижения в физике! Какие гениальные способности к геометрии! Есть только одна проблема, которую маскирует сладкоголосая проза и которую показывает самая простая схема.
Здесь мы видим более толстую линию, пересекающую более тонкую. Понятно ли из этого, каким путем ехал велосипед? Увы, нет, потому что Холмс допустил нехарактерную для него ошибку. След заднего колеса всегда пересекает след переднего. Это не дает никакой подсказки по поводу направления, но является простым следствием особенностей конструкции велосипеда, где переднее колесо может поворачиваться, тогда как заднее остается закрепленным.
Как Холмс мог так опростоволоситься? «Возможно, – предполагает профессор математики Эдвард Бендер, – он недавно принял очередную дозу опиума». Кто-то может обвинить сэра Артура Конан Дойля, но я считаю, Холмс должен нести ответственность за свои ошибки, как и любой вымышленный персонаж.
К счастью для герцога, существует точный и элегантный метод выяснить, в каком направлении двигался велосипед, по оставленным им следам. Этот метод основывается на простом, но действенном понятии дифференциального анализа – касательной.
Слово «касательная» происходит от латинского tangere («касаться», «трогать»), как и слова tangible («осязаемый», «ощутимый») и «танго»; все эти слова связаны с проявлениями нежности и прикосновениями. В математике касательная совпадает с кривой в одной точке. Так она на какое-то мимолетное мгновение принимает относящееся к конкретному моменту направление кривой, ее производную.
Например, если кривая изображает путь машины, то касательная будет указывать направление света фар.
Или, для более наглядной демонстрации, привяжите веревку к камню, раскрутите его над головой и подождите, пока веревка порвется. Камень полетит по прямой: касательная – это его путь в момент разрыва.