Время переменных. Математический анализ в безумном мире (Орлин) - страница 35

Тут происходит нечто невероятное. Вы переходите непосредственно от движения вверх к движению вниз без какого-либо промежуточного момента, о котором стоило бы говорить: никакой паузы, никаких пропусков хода, никаких удлинений седьмого иннинга.

Даже приближение – наш стандартный прием для всего, что касается математического анализа, – не вносит никакой ясности. Не важно, как близко вы смотрите или как замедляете видео, – этот момент перехода остается загадкой. Миллиардной долей секунды ранее бейсбольный мяч летел со скоростью 10 м/с вверх, а миллиардную долю секунды спустя он летит со скоростью 10 м/с вниз. Нет замедления, нет ускорения, только неожиданная смена курса, такая внезапная и таинственная, что сознание едва ли сможет ее уловить.

С какой скоростью бейсбольный мяч движется в этот момент? На самом деле движение настолько ничтожно, что само понятие скорости теряет смысл. В это мгновение бейсбольный мяч не имеет скорости. На жаргоне математического анализа функция его положения недифференцируема.

Теперь, после неожиданного рикошета, давайте вернемся к броуновскому движению. То, чего никак не может сделать бейсбольный мяч, частицы при броуновском движении, кажется, делают каждый день. Постоянно.

Изолированная точка недифференцируемости, единственное резкое изменение в движении, которое в иных случаях растягивается по гиперболе, – это само по себе плохо. Но через полвека после Броуна математик Карл Вейерштрасс создал куда более пугающую математическую функцию. Он не ограничился одной недифференцируемой точкой, и даже двумя, и двадцатью. Он придумал функцию, которая является недифференцируемой повсюду.

На графике франкенфункции Вейерштрасса каждая отдельная точка имеет острый угол.

Пытаетесь представить это? Я тоже, друзья мои, я тоже! Самое лучшее, что я могу предложить, – это некоторое приближение: первые несколько шагов по эволюционной лестнице, которые через бесконечное восхождение ведут к демоническому дикобразу Вейерштрасса.

Давайте разберемся с природой этого ужаса. Это единственная, неразрывная кривая без скачков и пробелов. Но она настолько зубчатая и непутевая, что ни человеческая рука, ни графическое программное обеспечение не могут ее нарисовать. Этот находящийся за границами воображения монстр, как пишет математик Уильям Данхэм, «забил последний гвоздь в гроб геометрического восприятия как надежного основания математического анализа».

Эмиль Пикар, французский математик, выражал глубокое сожаление по поводу этого изменения. «Если бы Ньютон и Лейбниц могли только подумать, что неразрывные функции не обязательно должны иметь производную, – заверял он, – дифференциальное исчисление никогда бы не было изобретено». Еще один французский математик Шарль Эрмит высказался еще более беспощадно: «Я с ужасом отворачиваюсь от этого прискорбного явления, которое представляют собой функции, не имеющие производных».