Итак, число π принадлежит к трансцендентным числам, составляющим большую часть царства чисел. На первый взгляд, в нем нет ничего необычного — это всего лишь заурядное трансцендентное число. Оно столь обыденно и незначительно, что никто до сих пор не нашел среди его знаков никакой закономерности.
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ СВЯЗИ π
Число е является основанием натурального логарифма. Его значение равно 2,71828… После числа π это самая известная и наиболее часто встречающаяся математическая постоянная. Несомненно,
π + е = 5,859874482…,
но неизвестно, является ли это число трансцендентным. Удивительно, но известно, что одно из чисел π + е или π∙е является трансцендентным, но неизвестно, какое именно. Также неизвестно, является ли трансцендентным π>π.
Напротив, е>x является трансцендентным, что было доказано благодаря теореме Александра Гельфонда (1906–1968) и Теодора Шнайдера (1911–1988). Однако это нельзя доказать для π>e. В действительности неизвестно, является ли это число рациональным или иррациональным. Трансцендентными также являются е>n√n (при n не равно 0), π + In 2 и π + In 2 + √ln3. Неизвестно, являются ли иррациональными π + е или π/е. J них известно, что если они являются алгебраическими, то многочлены, корнями которых они являются, имеют восьмую степень или выше и коэффициенты порядка 10>9. Этого недостаточно для строгого математического доказательства, но на бытовом уровне выглядит убедительно.
Квадратура круга
После анализа природы числа π и подтверждения его трансцендентности очевидно, что любые попытки решения задачи о квадратуре круга бесполезны. Несмотря на это, до Линдемана многие добросовестно прилагали все усилия в поисках решения с разумной степенью точности. Большинство охотников за числом π в действительности охотились за мимолетной квадратурой круга. Подобную одержимость в шутку называли болезнью morbus cyclometricus. Некто описывал искателей квадратуры круга как зрелых и благородных мужей, которым неведомо слово «невозможно», но которые обладают недостаточными знаниями математики и убеждены, что эта задача крайне важна и решившему ее полагается большая награда; как лишенных логики отшельников и вдобавок крайне плодовитых писателей. Эта мрачная картина тем не менее очень близка к реальности.
АРИСТОФАН И КВАДРАТУРА КРУГА
Греческий драматург Аристофан (ок. 446 — ок. 386 гг. до н. э.) в одной из своих комедий, которые изобиловали сатирой, упоминал о квадратуре круга скорее в шутливом тоне. В комедии «Птицы», впервые поставленной в 414 году до н. э., жители Афин, уставшие от городской суеты, решают построить город в воздухе и переехать жить туда. Архитекторы и градостроители предлагают свои услуги главному герою Писфетеру.