Отец Хандошкина был родом с Украины. Иван родился в Петербурге, куда приехал служить отец. Дата рождения композитора была установлена на основании записи о его захоронении на Волковом кладбище в Петербурге: «1804 года, 19 марта придворный отставной мумшенок[8] Иван Евстафьев Хандошкин умер 57 лет от паралича» (42, 3). Следовательно, Хандошкин родился в 1747 году.
Отец его был валторнистом и певчим капеллы графа П. Шереметева, хотя по сведениям Одоевского (записанным со слов одного из современников Хандошкина) отец служил придворным музыкантом «литаврщиком при Петре Федоровиче». Сын его с детства играл на балалайке и в совершенстве овладел этим инструментом. Одоевский пишет, что Хандошкин «воспитывался при оркестре. Попал по принуждении». По другим сведениям, своей игрой Хандошкин обратил внимание графа Л. А. Нарышкина — известного любителя музыки, который взял его в свою капеллу, а затем послал учиться в Италию к Тартини.
Документально подтверждено, что Хандошкин обучался на скрипке в оркестре Петра III в Петербурге, где в течение семи лет его учителем был итальянский скрипач, придворный камер-музыкант Батист Тито Порто (служил при дворе с 1743 по 1783 г.). Точных сведений, подтверждающих поездку Хандошкина в Италию, нет, но нет сведений и отвергающих эту версию. Посылка Хандошкина «для усовершенствования» в Италию была вероятна.
В ту пору многие русские музыканты, в том числе и крепостные, обучались за границей. В Италии учились Бортнянский, Березовский, Фомин, Скоков и другие. Русские дипломаты еще со времен Петра I возили с собой крепостных для их обучения игре на инструментах и создания своего ансамбля.
Косвенный намек на такую возможность содержится в записках Одоевского, который указывает на «методу Тартини», которой придерживался Хандошкин, и на то, что он играл «тартиниевским смычком». Действительно, в ту пору в России слава Тартини как выдающегося скрипача современности была исключительно велика. Его ученик Д. Далольо выступал в Петербурге почти на протяжении тридцати лет.
Петр III, любитель-скрипач, собиравший итальянские инструменты, по словам Я. Штелина, «хочет выписать из Падуи в Петербург старика Тартини, к школе которого он причисляет и себя». Вполне вероятно поэтому, что Хандошкин в Италию не ездил, а с традициями Тартини он, несомненно, мог ознакомиться и в России.
Но важно то, что и до поездки в Италию (если она и имела место) Хандошкин был уже ярким, сложившимся музыкантом, с детства воспитанным на народных инструментальных традициях, прекрасным балалаечником и, видимо, достаточно хорошо обученным у Тито Порто скрипачом. Поездка в Италию могла повлиять только на его общее развитие и более глубокое постижение итальянских скрипичных традиций, но не на формирование его самобытного стиля игры.